Индив.задание "Функции нескольких переменных"

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

6.1.6.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 1

1.

Найти область

определения

функции

z = arcsin(x + y).

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z = 2x + y2 .

y

1 ∂z

1 ∂z

z

3.

Дана функция

z =

. Показать, что

∂x

+

∂y =

.

(x 2 − y 2 )5

x

y

y 2

4.

Найти экстремумы функции z = x 2 + xy + y 2 −6x −9 y.

5.

Найти экстремумы функции z = еxy при условии, что

x + y =1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x 2 − y 2

в

замкнутой области x 2 + y 2 ≤1.

7.

Найти приближенное значение функции z = 3x 2 + 2xy в точке

А(1.02, 1.96).

8. Найти grad z и производную в точке А(-1;-2) по направлению вектора

а=(1;-1), если z = 2xy 2 + 4x2 −1 + y.

9.Найти частные производные первого порядка, если

	а) xy −еxy		+ ln xy + sin z = 1;
	б) z =	u 2		, u = arcctg x + y , r = еxy .
		r +	4

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 2

1.

Найти область

определения

функции

z =

x2 − y 2 −4.

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

x

2

.

y

3.

Дана функция z =

y 3

. Показать, что

x2 ∂z

− xy ∂z

+ y 2

= 0.

3x

+ arcsinxy

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции

z = x y − x 2 − y 2 +3.

5.

Найти экстремумы функции

z = еxy

при условии, что x + y = 6

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 + y3 −3xy

в замкнутой области

0 ≤ x ≤ 2,

−1 ≤ y ≤ 2.

7.

Найти приближенное значение функции

z = 3x 2 − xy + x + y

в

точке А(1.06, 2.92).

8.

Найти

z и производную в точке А(-2;4)

по направлению вектора

grad

а =(1;-4), если

z = 4x2 +1 − y 2

+ x +3xy.

9.Найти частные производные первого порядка, если а) z2 y + xеz + z arcsin yx =1;

б) z = 2u 2 − r , u = sin x + y , r = y + arcctg x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 3

1.

Найти

область определения функции

z =

a 2 − x2 − y 2 −t 2 . Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

x

.

y

3.

Дана функция z = ln(x 2 + y 2 + 2x +1). Показать, что ∂2 z +

∂2 z

= 0.

∂x 2

∂y 2

4.

Найти экстремумы функции

z = x3 + xy 2 + 6xy.

5.

Найти экстремумы функции

z =

1

+

1

при условии, что

x + y = 2.

у

х

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x 2 − 2 y 2 + 4xy −6x −1 в замкнутой области

x = 0, y = 0, x + y = 3.

7. Найти

приближенное

значение функции

z = x 2 +3xy −6 y

в

точке

А(3.96, 1.03).

8.

Найти

z и производную в точке А(-3;2) по направлению вектора

grad

а=(4;-1), если z = xy + 4x 2 −1 + y.

9.Найти частные производные первого порядка, если

а) z = 2xеz + In(x + y )+ z2 ;

б) z = 2u2 + r , u = sin x + y2 , r = y + arcctg x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 4

1

1.

Найти

область определения функцииu =

ln(1 − x2 − y 2 − z 2 ). Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z = ln

y .

x

3.

Дана

функция

z = e xy .

Показать,

что

x

2 ∂2 z

− 2xy

∂2 z

+ y

2 ∂2 z

+ 2xyz = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y

2

4.

Найти экстремумы функции

z = (x 2 + y)

e y .

5.

Найти экстремумы функции

z =

1

+

1

при условии, что

x + y = 4.

х

у

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x 2 − xy + y 2 − 4x

в

замкнутой

области

x = 0, y = 0, 2x +3y −12 = 0.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x 2 − y 2 + 6x +3y

в

точке А(2.02, 2.97).

8.

Найти

z и производную в точке А(-1;2)

по направлению вектора

grad

а=(2;1), если z = x 2 + xy − y3 .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) z2 + xyz +еxy − ln z = 0;

б) z = u v , u = sin2 x, v = arcsin x2 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 5

1.

Найти

область определения функции

z = x +

x2 − y 2 .

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

x .

y

3.

Дана функция z = ln(x + e−y ). Показать, что ∂z

∂2 z

−

∂z

∂2 z = 0.

∂y

∂x

∂x∂y

∂x 2

4.

Найти экстремумы функции

z = 3 ln

x

+ 2 ln y + ln 12 − x − y.

6

5.

Найти экстремумы функции

z = xy

при условии, что x2 + y 2

=1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy + x + y

в замкнутой области x =1,

x = 2, y = 2,

y = 3.

7.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +2xy +3 y2

в точке

А(1.96, 1.04).

8. Найти grad z и производную в точке А(3;-1;) по направлению вектора

а=(2;5), если z = In ( 2x +3y ).

9.Найти частные производные первого порядка, если

а) 3sin	х	- 2 cos	у	+ 1 = 2 arctg xy + 3yz;
	у		х
б) z = = In 2 ( 2u +3r ),				u = sin x cos y, r = cos x sin y.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 6

1.

Найти

область определения функции

z

= arcsin

y

.

Сделать

x

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

1 − x 2

− y 2 .

4

3.

Дана функция z =

x

. Показать, что x

∂2 z

−

∂z

= 0.

y

∂x∂y

∂y

4.

Найти экстремумы функции

z = xy 2 (1 − x − y).

5.

Найти экстремумы функции

z = 6 – 4x – 3y

при

условии,

что

x2 + y 2

= 2 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x2 +3y 2 + x − y в замкнутой области

x =1, y =1, x + y =1.

7.

Найти приближенное значение функции z = x2 + y 2 +2x + y −1

в

точке А(1.98, 3.91).

8.

Найти

z и производную в точке А(-1;-2) по направлению вектора

grad

а=(1;-1), если z = 4x2 y + 2xy −2 + y 2 .

9.Найти частные производные первого порядка, если

а) zxy3 −3x2 y2 + 2 y4еz						= 0 ;
	x	2	+ y	2	, z =sin	(xy)
б) z =
	x	2	− y	2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 7

1.	Найти область определения функции z =			1 + x − y 2 + 1 − x − y 2 .
	Сделать чертеж.
2.	Определить и построить линии уровня функции			z = xy.
3.	Дана функция z = x y . Показать, что y	∂2 z	= (1 + y ln x)∂z .
		∂x∂y		∂x

4.Найти экстремумы функции z = x3 + y3 −15xy.

5.Найти экстремумы функции z = −10xy 2 + x2 +10x +1 при условии, что

−

x

+

y

=1.

7

2

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x3 + y3 −9xy + 27 в замкнутой области

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

7.

Найти приближенное значение функции

z = 3x 2 + 2 y 2 − xy

в

точке А(-0.98, 2.97).

8.

Найти

z и производную в точке A(-1;-2)

по направлению вектора

grad

а =(1;-1), если z = x 2

− xy + y 2

−4x .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) 2xyz + x2 +2 y2 + xy −sin xy −cos 3z =0 ;

б) z = 3u 3 −r, u = cos y + x , r = y + arctg x −1.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 8

1. Найти область определения функции	z =	3x −	5	. Сделать
			y

чертеж.

2. Определить и построить линии уровня функции z = x2 − y 2 .

			y		∂2 z		∂2 z	+ y 2 ∂2 z
	3.	Дана функция z = xe	x	. Показать, что x 2		+ 2xy			= 0.
					∂x 2		∂x∂y
								∂y 2
	4.	Найти экстремумы функции z = x3 y 2 (6 − x − y).

5.Найти экстремумы функции z = −10xy 2 + x 2 +10x +1 при условии, что

−2x +7 y =14.

6.	Найти	наибольшее		и	наименьшее	значения	функции
	z = x 2 + y 2 − xy + x + y в замкнутой области x = 0, y = 2, x + y = −3.
7.	Найти	приближенное		значение	функции	z = x3 y 2 в точке А(1.02,
	0.97).
8.	Найти		z и производную в точке А(1;-2) по направлению вектора
		grad

а=(4;7), если z = y 2 + 2x 2 +3xy..

9.Найти частные производные первого порядка, если а) 3x3 y y −x + y 3 −tgxz + xyz = 0;

б) z =	2 u	, u = arccos(x + y)+ x + y2 , r = еx+y2 .
	r 2 +6

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 9

	1. Найти область определения функции z =	ln (x 2 y)	.	Сделать
		y-x

чертеж.

2. Определить и построить линии уровня функции z = x 2 − y.

3.

Дана функция z = sin(x + ay). Показать, что

∂2 z

= a 2 ∂2 z .

∂y 2

∂x2

4.

Найти экстремумы функции z = x3 +8y3 − 6xy + 5.

5.

Найти экстремумы функции z = x2

+ y 2 при условии, что 3x + 4 y =12.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x3 + y3 −9xy + 27 в замкнутой области

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = 2xy +3y 2 −5x

в точке А(3.04, 3.95).

8.

Найти

z и производную

в точке А(1;-2) по направлению вектора

grad

а =(4;7), если z = 3xy + 2x2

+ y2.

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а)

zx + x

3 y 3 −3xy 5 + y 5

= 0 ;

x

б) z = ln

2 u

, u = sin

2

x , r = arctg

x .

r