расчетка 3

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

10.4.7.

КРАТНЫЕ

И

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 1

		π	π
1.	Вычислить повторный интеграл	∫4 dx∫4 (cos2 x +sin2 y)dy .
		0	0
			0	4 + y 2
2.	Изменить порядок интегрирования		∫ dy	∫ f ( x , y ) dx .
			−2	−2 − y
3.	Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫				x2 + y2 dxdy , где
				D
	область D ограничена кардиоидой r = a(1−cosϕ).
4.	Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры,
	ограниченной линиями y = x2 ,	y = 4x2 ,		y = 4.
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями				z =1+ y2 , x + y =1,
	x = 0 , y = 0 , z = 0 .

6.Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями y = x2 , y = 2x2 , x =1, x = 2 .

7.Вычислить криволинейный интеграл ∫(x + y)dx −(x − y)dy вдоль ломаной OAB , где O(0;0) , A(2;0) , B(4;5) .

8.Проверить, является ли данное выражение

(6xy + xy1 −4)dx +(3x2 +2 y − lny2x)dy

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае

положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 2

		2	x2
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(2x − y)dy .
		1	x
2.	Изменить порядок интегрирования в ∫2		dx	2 ∫x f ( x , y ) dy .
		0		x 2
				4
3.	Вычислить ∫∫dxdy , если D ограничена линиями y = ln 2x , x =3 и
		D
	осью	OX .

4.Вычислить двойным интегралом площадь, ограниченную лемнискатой r2 =4cos 2ϕ .

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =1 − x2 , 3x + y = 6 ,
	y = 0 , z = 0 .
6.	Вычислить момент инерции относительно начала координат фигуры,
	ограниченной линиями 2x +3y = 6 , x = 0 , y = 0 .
7.	Вычислить ∫xdy + ydx по контуру, составленному линиями y = x2 и

y=1, обходя его в положительном направлении.

8.Проверить, является ли данное выражение

( x12 + 1y)dx +(1y−2x +9)dy

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае

положительного ответа восстановить эту функцию.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 3

	3	2 x	+ 2 y)dy .
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(x
	2	x
	Изменить порядок интегрирования ∫4	3 +		1		x 2
2.		dx	∫2 f ( x , y ) dy
	0		1				x
		2 −
					2
3.	Вычислить ∫∫y3 dxdy , если область D ограничена линиями
	D
	x2 + y2 = 2a2 , y = x , x = 0 в первой четверти.
4.	Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную
	линиями y = 3 − x2 , y =1 + x .
5.	Найти объем тела, ограниченный поверхностями z = 3y2 , z = 4 − y2 ,

x= −2 , x =1.

6.Определить центр тяжести фигуры, ограниченной линиями y = x , x = 4 ,

если плотность в каждой её точке равна сумме координат.

7.	Вычислить криволинейный интеграл ∫					y2 +1		x		dy	вдоль отрезка
						y	dx −	y	2
	AB , где A(1;2) , B(2;4) .
8.	Проверить, является ли данное выражение
	(2 cos 2x cos 3y −	1	)dx +(	2		−3sin 2x sin 3y)dy
				y
		x

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 4

		π
	π
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx∫2 ex+sin y cos ydy .
	0	0
	Изменить порядок интегрирования ∫4		3	x + 4
2.		dx	4 ∫ f ( x , y ) dy .
	0		1		x +1
			2
3.	Вычислить ∫∫(x + y2 )dxdy , если область D ограничена линиями y = x2 ,
	D

y= 4 −3x , y = 0 .

4.Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную

линиями y = 2x − x2 , x + y = 0 .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = y ,

x2 + y2 = 3y , z + y = 3, z = 0 .

6.Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями y = 2 x ,

x+y =3, y =0 относительно оси OX .

7.	Вычислить ∫ydx +	x	dy , где C - дуга кривой y = e−x от A(0;1) до
	C	y
	B(−1; e) .
8.	Проверить, является ли данное выражение
			(2xy −	1	)dx +(x2 −	2	)dy
						y3
				x2

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 5

		2		y2
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dy ∫(3x2 −2xy + y)dx .
		0		0
		2		4+2 x2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .
		0		4−x2
3.	Вычислить ∫∫	ydxdy	, где область D ограничена линиями								y = x , x = 3 ,
		2
	D	1+ x
	осью OX .
4.	Вычислить площадь, ограниченную эллипсом				x2		+	y2		=1, двойным
				16			25
	интегралом.
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями						x2		+ y2		=1,
	z = 3 − x − y , z = 0 .
6.	Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x ,								x = 4 , y = 0 , если
	плотность в каждой её точке равна произведению координат.

7. Вычислить ∫(x2 + y2 )dx +(x2 − y)dy вдоль линии L : y = (x) от

L

A(−1;1) до B(2;2) .

8.Проверить, является ли данное выражение

1− 2 y dx +1 − x dy x2 y xy2

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 6

				2	y
	1.	Вычислить повторный интеграл ∫dy ∫(x2				+ y2 )dx .
				1	0
				2	8−x2
	2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫				f (x, y)dy .
				0	1 x2
					2
	3.	Вычислить ∫∫	dxdy	, где область D ограничена линиями y − x = 3 , x =1
			x + y
		D

3y +5x = 25 , осью OX .

4. Вычислить площадь, ограниченную кривой r = 4sinϕ .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями y2 = 4 − z2 ,

x + 2z = 4 , z = 0 , x = 0 , y = 0 .

6.Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями y2 = ax , x = a , y ≥ 0 .

	Вычислить ∫xdy − ydx вдоль астроиды	3
7.		x = acos3	t,	совершая обход
	L	y = asin	t,
	против часовой стрелки.
8.	Проверить, является ли данное выражение
	(x + y sin 2 y)dx +(xy sin 2 y + x sin 2 y −4)dy

полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) ? В случае положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 7

1.	Вычислить повторный интеграл ∫2	dx	2−∫x x(1 − y )dy .
	−6		1	x2 −1
			4
		1		1−x2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .
		−1		x2 −1
3.	Вычислить ∫∫ρsin 2 ϕdρdϕ, где область D ограничена окружностью
	D

ρ= 3cosϕ .

4.С помощью двойного интеграла вычислить площадь, ограниченную

	линиями y = x2 y = 0 x + y = 2 .
	5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями	z =	1	x2	, x + y = 2 ,
			2

z = 0 , y = 0 .

6.Вычислить полярный момент инерции площади, ограниченной линиями

x+ y = 2 , x = 0 , y = 0 .

7. Вычислить ∫(x2 − 2 y)dx + ( y2 − 2xy)dy вдоль кривой y = x2 от

C

A(−1;1) доB(1;1) .

8.С помощью криволинейного интеграла решить дифференциальное уравнение, убедившись, что оно задано полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y) :

(2x sin y +6 y)dx +(x2 cos y + 3xy )dy = 0 .

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 8

			e	ln x
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(x + 2)dy .
		1		0
		0		4−y2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx .
			−1	−y
3.	Вычислить ∫∫	dxdy	, где область D ограничена прямыми y = x , x = 2
		2
	D	4 + y

y= 0 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную кривыми xy =8 y = 2x , x = 4 .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z2 = 9 − y ,

x2 + y2 = 9 y .

6. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной линиями xy = 4 ,

x + y −5 = 0 .

7.	Вычислить ∫(x + y)dx +(x − y)dy вдоль окружности радиусом r =1 с
	L
	центром в начале координат, обходя ее против часовой стрелки.
8.	Убедиться, что заданное выражение
	(x −		y	)dx +(		x	− y + 2)dy
		x2	+ y2		x2	+ y2

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 9

1

x2 +2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx

∫(3xy +1)dy .

0

2−x

1

x2 +1

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .

0

−2 x

3.

Вычислить ∫∫(x2

+ y2 )dxdy , перейдя к полярным координатам,

если

D

область D ограничена окружностями

x2 + y2

= ax , x2

+ y2 = a2

и осью

OY .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную линиями

x2

+

y2

=1, y = 0 , y > 0 .

9

16

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями x = y , x +2 y

= 6 ,

z = x2 z = 0 .

6.

Найти массу фигуры, ограниченной линиями xy

= 4 ,

x + y = 5, если ее

плотность ρ = x + y .

(3, 4)

7.

Вычислить интеграл

∫(x2

− y)dx + ( y2 − x)dy

( 0,0)

8.

Убедиться, что заданное выражение

(

y2

−

1

+1)dx

+(

x2

+

1

)dy

(x + y)2

(x + y)2

x

y

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.