2 семестр / Формулы - 1999 / Formulas
.doc1 а). Вывод формулы полной производной для z=f(x,y), где x=x(t), y=y(t).
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема по переменным (x;y), функции x=x(t), y=y(t) дифференцируемы по t. Тогда сложная функция z=F(t) дифференцируема по t, причем имеет место формула
Док-во:
Из условия дифференцируемости функции z=f(x;y) получаем, что
1 б) Формула Стокса (без доказательства)
Пусть () - гладкая ориентируемая поверхность в R3, которая ограничена замкнутым ориентируемым контуром (). Пусть задано векторное поле, определенное функцией , где функции P,Q,R и их частные производные непрерывны в ()(). Тогда имеет место формула
где - внешняя нормаль к поверхности ().
Или в векторной форме:
Формула из Пискунова:
2 a). Определение полного дифференциала функции двух переменных. Теорема об инвариантности формы полного дифференциала.
Полным дифференциалом дифференцируемой функции будем называть главную линейную часть полного приращения этой функции:
Если (x;y) - независимые переменные, то
Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема по (x;y), а функции x=x(u;v), y=y(u;v) дифференцируемы по (u;v). Тогда форма полного дифференциала сохраняется, т.е. она не зависит от того, является ли (x;y) функциями или независимыми переменными.
Док-во:
1) если (x;y) - независимые переменные, то (т.к. z=f(x;y) дифференцируема по (x;y) )
2) Т.к. x=x(u;v); y=y(u;v) дифференцируемы по (u;v) (по условию) и (u;v) - независимые переменные, то
дифференцируема по (u,v) по св-ву сложной функции, значит существует дифференциал. По правилу дифференцирования сложной функции:
2 б) Формула Гаусса-Остроградского (без доказательства)
Пусть в R3 задано некоторое тело (T), которое ограничено гладкой замкнутой ориентируемой поверхностью (), на которой определено поле внешних нормалей ; пусть на (T) задано векторное поле ; функции P,Q,R непрерывны в (T) и на (); кроме того, непрерывны в (T) и на (). Тогда имеет место формула
В векторной форме:
Поток векторного поля через данную поверхность равен тройному интегралу от дивергенции данного векторного поля по телу, ограниченному данной поверхностью.
Формулировка из Пискунова:
3 a). Вывод формулы для производной функции, заданной неявно уравнением f(x,y)=0 с использованием частных производных.
Пусть функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. Требуем, чтобы F(x,y) была дифференцируема в т. P(G)R2, и в т. P. Тогда в этой точке существует производная y'(x), которая находится по формуле:
Док-во:
Т.к. F(x,y) дифференцируема в т. P(G)R2, то
x здесь является независимой переменной, y- функцией. Но по св-ву инвариантности полный дифференциал имеет один и тот же вид, независимо от того, является ли y независимой переменной или функцией других независимых переменных.
3 б) Ротор (определение)
Вектор , определяемый проекциями
называется вихрем или ротором векторной функции и обозначается символом .
В символическом виде:
4 а) Теорема о необходимых и достаточных условиях того, что выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy есть полный дифференциал (доказать необходимость).
Для того, чтобы выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy было полным дифференциалом некоторой функции u=u(x,y), необходимо и достаточно, чтобы при условии, что P(x,y),Q(x,y), непрерывны в некоторой ограниченной односвязной области GR2.
Дано: P(x,y)dx + Q(x,y)dy - полный дифференциал.
Док-ть:
Док-во:
Т. к. выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy - полный дифференциал, то по определению
Т. к. P(x,y),Q(x,y), непрерывны в G, то применяем теорему о равенстве вторых смешанных производных:
4 б) Поток вектора через поверхность (определение).
Пусть рассматривается некоторая гладкая ориентируемая поверхность (); пусть в каждой точке M(x;y;z)() задано поле нормалей и задано векторное поле . Поток векторного поля через поверхность () будет определяться поверхностным интегралом
Формулировка из Пискунова:
Поверхностный интеграл называется потоком векторного поля через поверхность .
5 а) Теорема о необходимых и достаточных условиях того, что выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy есть полный дифференциал (доказать достаточность).
Для того, чтобы выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy было полным дифференциалом некоторой функции u=u(x,y), необходимо и достаточно, чтобы при условии, что P(x,y),Q(x,y), непрерывны в некоторой ограниченной односвязной области GR2.
Дано:
Док-ть:
Док-во: Для того, чтобы доказать требуемое нужно, чтобы
Фиксируем у, интегрируем по x:
5 б) Дивергенция (определение)
Дивергенцией вектора (или дивергенцией векторной функции) называется выражение
6 а). Определение производной по направлению, вывод формулы для ее вычисления.
Производной функции U=u(x,y,z) в т. M0(x0,y0,z0) по направлению l называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции по данному направлению к смещению, при условии, что смещение стремится к нулю.
Пусть функция U=u(x,y,z) в некоторой окрестности точки M0(x0,y0,z0) имеет непрерывные частные производные . Пусть вектор
определяет направление l. Тогда
Д-во:
Направление (l) задано вектором .
Тогда M(x,y,z)R3 составляем параметрическое уравнение прямой: x=x0+tcos, y=y0+tcos, z=z0+tcos. Смещение
Рассмотрим lU=U(x,y,z)-U(x0,y0,z0)=
=U(x0+tcos, y0+tcos, z0+tcos)-U(x0,y0,z0) - это сложная функция от t. Введем (t)= U(x0+tcos, y0+tcos, z0+tcos).
Тогда lU=(t)-(0).
По определению производной по направлению
С другой стороны, U(M)=U(x,y,z)=
=U(x0+tcos, y0+tcos, z0+tcos)=(t).
По правилу дифференцирования сложной функции
6 б). Вычисление массы и объема тела через тройной интеграл
7а) Определение градиента скалярного поля, доказать его свойства.
Градиентом скалярного поля в точке M(x,y,z) будем называть вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям частных производных в этой точке.
Свойства градиента:
Связь градиента и производной по направлению
Пусть функция U=u(x,y,z) дифференцируема в некоторой области GR3. Пусть в точке M(x,y,z)G. Рассмотрим некоторое направление (l): . Тогда
Док-во:
Отсюда следует, что значение производной по направлению равно проекции градиента на это направление:
Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента.
При этом
Док-во:
Производная по направлению, перпендикулярному направлению градиента, равна 0.
Док-во:
В каждой точке поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z)=C градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону возрастания функции.
Док-во:
В R3 - поверхность уровня U(x,y,z)=C=const
F(x,y,z)=U(x,y,z)-C=0
gradF=gradU.
Следствие:
В R2 градиент будет направлен перпендикулярно касательной к линии уровня.
Градиент в каждой точке поверхности уровня характеризует наибольшую скорость изменения скалярного поля.
U1=u1(x,y,z), U2=u2(x,y,z)
Тогда grad(U1+U2)=gradU1+gradU2
U=u(x,y,z), A=const
Тогда grad(AU)=AgradU
7 б). Свойства двойного интеграла, теорема о среднем.
Если f(x,y)=1, то
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла
Аддитивность. Пусть (G)=(G1)(G2), причем (G1) (G2)=, то
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в области (G) и известно, что существуют такие m и M, что mf(x,y)M. Тогда
Теорема о среднем.
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда существует точка P(;)(G) такая что:
8 а). Определение максимума (минимума) функции двух переменных. Доказать теорему о необходимых условиях существования экстремума.
Точка M0 называется точкой локального максимума [локального минимума] функции z=f(x,y), если существует такая >0 - окрестность точки M0, такая что M(x;y)U(M0), MM0, выполняется неравенство f(M)<f(M0) [f(M)>f(M0)].
Пусть функция z=f(x;y) во внутренней точке M0G имеет локальный экстремум. Тогда если в этой точке существуют частные производные, то они равны 0.
Док-во:
Пусть точка M0(x0,y0)(G) - точка локального максимума для функции z=f(x;y). Тогда
Фиксируем y=y0. Рассматриваем функцию f(x,y0)=f1(x)
функция f1(x) имеет в точке x0 локальный максимум. По необходимым условиям экстремума функции f1(x) .
Фиксируем x=x0. Рассматриваем функцию f(x0,y)=f2(y)
функция f2(y) имеет в точке y0 локальный максимум. По необходимым условиям экстремума функции f2(y) .
Аналогичное док-во, если M0(x0,y0) - точка локального минимума.
8 б). Вычисление площади области через двойной и криволинейный интегралы.
9 а). Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат.
Двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области (G) называется конечный предел, если он существует, таких интегральных сумм причем этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные части, ни от выбора точек Pk(k,k)
Свойства:
Если f(x,y)=1, то
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла
Аддитивность. Пусть (G)=(G1)(G2), причем (G1) (G2)=, то
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в области (G) и известно, что существуют такие m и M, что mf(x,y)M. Тогда
Теорема о среднем.
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда существует точка P(;)(G) такая что:
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в области (G), правильной относительно oy:
Пусть существует . Кроме того, . Тогда , причем
9 б). Формулировка достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными второго порядка в U(M0), >0, т. M0 - стационарная точка. Обозначим:
Тогда:
-
Если , то экстремум есть,
причем, если A>0 (или C>0), то локальный минимум, если A<0 (или C<0), то локальный максимум.
-
Если (M0)<0, то экстремума нет.
-
Если (M0)=0, то требуются дополнительные
исследования.
10 а). Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление в полярной системе координат.
Двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области (G) называется конечный предел, если он существует, таких интегральных сумм причем этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные части, ни от выбора точек Pk(k,k)
Свойства:
Если f(x,y)=1, то
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла
Аддитивность. Пусть (G)=(G1)(G2), причем (G1) (G2)=, то
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в области (G) и известно, что существуют такие m и M, что mf(x,y)M. Тогда
Теорема о среднем.
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда существует точка P(;)(G) такая что:
10 б). Определение частных производных, их геометрический смысл.
Частной производной по x функции z=f(x,y) называется конечный предел (если он существует) отношения частного приращения по x к x при условии, что x0.
Геометрический смысл:
Значение частной производной по x в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к сечению данной поверхности z=f(x,y) плоскостью y=y0.
11 а). Криволинейный интеграл по координатам: определение, свойства, вычисление. Работа силы.
Криволинейным интегралом II рода (криволинейным интегралом по координатам) от функций P(x,y), Q(x,y) по кривой AB называется конечный предел, если он существует, таких сумм:
, который не зависит ни от способа разбиения дуги AB на элементарные дуги, ни от выбора точек Nk(k,k) на каждой элементарной дуге.
Свойства:
1. Криволинейный интеграл II рода обладает всеми основными свойствами определенного интеграла:
-постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
-интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых.
-криволинейный интеграл по кривой, состоящей из одной точки, равен 0.
2. Криволинейный интеграл меняет знак при изменении ориентации кривой, т. е.
3. Если (AB)=(AC)(CB), то
Вычисление:
Пусть кривая (AB), по которой ведется интегрирование, задана параметрически: ; функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на [,]; а функции P(x,y)=P(x(t),y(t)), Q(x,y)=Q(x(t),y(t)) как функции t непрерывны на этом отрезке. Тогда
Если кривая (AB) задана в явном виде: y=f(x), x[a;b]. Тогда если y=f(x) непрерывно дифференцируема на [a;b], то
Работа силы:
Пусть в R2 задано силовое поле, которое определяется вектором силы . Тогда
численно равен работе силы по перемещению материальной точки единичной массы из точки A в точку B по кривой AB.
11 б). Теорема о равенстве двух смешанных производных второго порядка.
Пусть функция z=f(x,y) определена в (G)R2, и существуют непрерывные вторые смешанные частные производные . Тогда эти смешанные производные равны.
12 а). Интеграл Эйлера-Пуассона.
Интегралом Эйлера-Пуассона называется несобственный интеграл вида
Теорема:
Док-во:
12 б). Формулы для производной сложной функции нескольких переменных (случай 2-х от 3-х переменных или 3-х от 2-х переменных).
z=f(x,y), x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) (z дифференцируема по (x,y); x,y дифференцируемы по (u,v,w) ).
w=f(x,y,z), x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) (w дифференцируема по (x,y,z); x,y,z дифференцируемы по (u,v) ).
13 а). Криволинейный интеграл: определение, свойства. Доказать теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Криволинейным интегралом II рода (криволинейным интегралом по координатам) от функций P(x,y), Q(x,y) по кривой AB называется конечный предел, если он существует, таких сумм:
, который не зависит ни от способа разбиения дуги AB на элементарные дуги, ни от выбора точек Nk(k,k) на каждой элементарной дуге.
Свойства:
1. Криволинейный интеграл II рода обладает всеми основными свойствами определенного интеграла:
-постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
-интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых.
-криволинейный интеграл по кривой, состоящей из одной точки, равен 0.
2. Криволинейный интеграл меняет знак при изменении ориентации кривой, т. е.
3. Если (AB)=(AC)(CB), то
Пусть функции P, Q, непрерывны в односвязной области (G)R2. Тогда для того, чтобы не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы .
Док-во:
Достаточность:
Дано:
Док-ть: не зависит от пути интегрирования.
Док-во:
Пусть () - некоторый контур в (G). Тогда
По теореме о равенстве 0 криволинейного интеграла по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования.
Необходимость:
Дано: не зависит от пути интегрирования.
Док-ть:
Док-во:
Из теоремы о равенстве 0 криволинейного интеграла по замкнутому контуру следует, что
В силу непрерывности функций, входящих в это неравенство, существует такая окрестность U(M0), >0, что
Противоречие. Оно устраняется, если
13 б) Формула Гаусса-Остроградского (без доказательства)
Пусть в R3 задано некоторое тело (T), которое ограничено гладкой замкнутой ориентируемой поверхностью (), на которой определено поле внешних нормалей ; пусть на (T) задано векторное поле ; функции P,Q,R непрерывны в (T) и на (); кроме того, непрерывны в (T) и на (). Тогда имеет место формула
В векторной форме:
Поток векторного поля через данную поверхность равен тройному интегралу от дивергенции данного векторного поля по телу, ограниченному данной поверхностью.
14 а). Доказать формулу Грина.
Пусть в R2 задана замкнутая кривая (), ограничивающая некоторую область (G), причем эта область является правильной как относительно оси оy, так и относительно оси ox. Пусть функции P(x,y),Q(x,y), непрерывны в замкнутой области , причем контур () обходится против часовой стрелки. Тогда
Док-во:
1 часть:
(G) - правильная относительно оси oy:
2 часть:
(G) - правильная относительно ox:
Складывая выражения, полученные в 1-ой и 2-ой частях, получаем:
14 б). Потенциальное поле, потенциальная функция. Выражение криволинейного интеграла через потенциальную функцию (и наоборот).
Векторное поле в R2, определяемое функцией , называется потенциальным, если существует такая скалярная функция u=u(x,y), для которой . Такая функция u называется потенциальной функцией (или потенциалом) данного векторного поля .