2 семестр / Вопросы к коллоквиуму - 1999 / Colloquium questions 2 semestr
.docВопросы к коллоквиуму по математическому анализу (II семестр)
1. а) Вывод формулы полной производной для z =f(x,y), где х = x(t); y=y(t). б) Формула Стокса (без доказательства).
2. а) Определение полного дифференциала функции двух переменных. Теорема об инвариантности формы полного дифференциала, б) Формула Гаусса - Остроградского (без доказательства).
3. а) Вывод формулы для производной функции, заданной неявно уравнением f(x,y) = 0 с использованием частных производных, б) Ротор (определение).
4. а) Теорема о необходимых и достаточных условиях того, что выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy есть полный дифференциал (доказать необходимость), б) Поток вектора через поверхность (определение).
5. а) Теорема о необходимых и достаточных условиях того, что выражение Р(х, y)dx + Q(x,y)dy есть полный дифференциал (доказать достаточность). б) Дивергенция (определение).
6. а) Определение производной по направлению, вывод формулы для ее вычисления, б) Вычисление массы и объема тела через тройной интеграл.
7. а) Определение градиента скалярного поля, доказать его свойства, б) Свойства двойного интеграла, теорема о среднем.
8. а) Определение максимума (минимума) функции двух переменных. Доказать теорему о необходимых условиях существования экстремума, б) Вычисление площади области через двойной и криволинейный интегралы.
9. а) Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат, б) Формулировка достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
10. а) Двойной интеграл определение, свойства, вычисление в полярной системе координат, б) Определение частных производных, их геометрический смысл.
11. а) Криволинейный интеграл по координатам: определение, свойства, вычисление. Работа силы. б) Теорема о равенстве двух смешанных производных 2го порядка.
12. а) Интеграл Эйлера - Пуассона.
б) Формулы для производной сложной функции нескольких переменных (случай 2-х от 3-х переменных или 3-х от 2-х переменных).
13. а) Криволинейный интеграл: определение, свойства. Доказать теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, б) Формула Гаусса - Остроградского (без доказательства).
14. а) Доказать формулу Грина.
б) Потенциальное тюле, потенциальная функция. Выражение криволинейного интеграла через потенциальную функцию (и наоборот).