Пределы - 2003 / Пределы

1. Определение предела функции в точке.

Пределом ф-ции y=f(x) в точке x₀ называется такое число A, что для любого положительного  найдется такое положительное число , что для всех значений x из  окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x)-A<

2,Теорема о пределе суммы двух функций.

Если существует предел каждого из слагаемых, то существует и предел их суммы, равный сумме пределов слагаемых.

Дано:

Док-ть: Док-во:

Обозначим

Тогда найдутся такие бесконечно малые (x) и (x), для которых:

f(x)=A+(x), g(x)=B+(x).

3.Теорема о пределе произведения 2 функций.

Если существует предел каждого сомножителя, то существует предел произведения, который равен произведению пределов сомножителей.

Дано:

Док-ть:

Док-во:

Обозначим

Тогда найдутся такие бесконечно малые (x) и (x), что:

f(x)=A+(x), g(x)=B+(x).

4. 1 - ый замечательный предел

Функция sin x /x не определена при х=0, т. К. числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдём предел этой ф-ии при х →0. Рассмотрим окружность радиуса 1 , обозначим центральный угол MOB через Х, при этом 0<x<π/2. Из рис. следует S∆MOA < S сектора MOA < S∆ СОА (1)

Площадь ∆МОА = 0,5 ОА* МВ= 0,5*1*sinx = 0,5 sinx.

Площадь сектора MOA = 0.5 OA *AM = 0.5*1*x = 0.5x

S∆ СОА = 0.5OA*AC = 0.5*1* tg x = 0.5 tg x.

Неравенства (1)после сокращения на0,5 переписываются так: sin x< x < tg x. Разделим все члены на sin x:

Мы вывели это неравенство в предположении, что х > 0; замечая, что sin(-x) /(-x)= sin x / x и cos (-x) = cos x, заключаем, что оно верно и при x< 0.

Но следовательно переменная sin x/x заключена между двумя величинами имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании леммы о пределе

2-й замечательный предел.

4.Теорема о пределе частного двух функций.

Если существуют предел числителя и предел знаменателя, причем предел знаменателя не равен 0, то существует предел дроби, равный пределу числителя, деленному на предел знаменателя.

5. Определение бесконечно малых и их свойства.

Функция  = (x) называется бесконечно малой в точке x=x₀, если предел (x) при xx₀ и при х∞ равен 0.

Из определения предела следует, что если, например, это так, то это значит, что для любого наперёд заданного произвольно малого положительного

, такое, что для всех х , удовлетворяющих условию ,будет удовлетворять условие .

Свойства:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x₀, если найдется такое число M и такая -окрестность, что для всех x из -окрестности выполняется неравенство f(x)<M.)

6. Определение бесконечно большой. Ее связь с бесконечно малой.

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x₀, если для любого положительного M найдется такая -окрестность этой точки, что для всех x из этой -окрестности выполняется неравенство f(x)>M.

Если f(x) - бесконечно большая в точке x=x₀, то функция (x)=1/f(x) будет бесконечно малой в этой точке.

Если функция (x) - бесконечно малая в точке x=x₀, то функция f(x)=1/(x) будет бесконечно большой в этой точке.

7. Определение функции и ее области определения.

Если каждому значению x из некоторого числового множества E сопоставлено одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y является функцией независимой переменной x, а числовое множество E является областью определения данной функции.

Графиком функции y=f(x) в данной прямоугольной системе координат xOy называется геометрическое место точек плоскости, координаты (x;y) которых удовлетворяют соотношению y=f(x).

Способы задания функции:

1. Аналитический.

2. Графический.

3. Табличный.

8. Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности:

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и еслиили,что то же самое

Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции и их классификация.

1.Точка x=x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.

2.Точка x=x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

3.Точка x=x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.

Непрерывность элементарных функций

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена

Свойства непрерывных функций

1.Непрерывная на отрезке a ≤ x≤ b функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m

2. Если функция y=f (x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключенное между её наименьшими и наибольшими значениями

3. Если непрерывная функция y=f (x) на концах отрезка имеет положительные и отрицательные значения, то найдется, по крайней мере, одна точка х = с, пересекающая ось ОХ.

5. Формулировка “теоремы о двух милиционерах”.

Если в некоторой  - окрестности точки x₀ выполняется неравенство (x)f(x)(x) и

,то