Частные производные - 2003 / Частные производные

1). Определение частных производных, их геометрический смысл.

Частной производной по x функции z=f(x,y) называется конечный предел (если он существует) отношения частного приращения по x к x при условии, что x0.

Геометрический смысл:

Значение частной производной по x в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к сечению данной поверхности z=f(x,y) плоскостью y=y₀.

2). Определение полного дифференциала функции двух переменных. Теорема об инвариантности формы полного дифференциала.

Полным дифференциалом дифференцируемой функции будем называть главную линейную часть полного приращения этой функции:

Если (x;y) - независимые переменные, то

Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема по (x;y), а функции x=x(u;v), y=y(u;v) дифференцируемы по (u;v). Тогда форма полного дифференциала сохраняется, т.е. она не зависит от того, является ли (x;y) функциями или независимыми переменными.

Док-во:

1) если (x;y) - независимые переменные, то (т.к. z=f(x;y) дифференцируема по (x;y) )

2) Т.к. x=x(u;v); y=y(u;v) дифференцируемы по (u;v) (по условию) и (u;v) - независимые переменные, то

дифференцируема по (u,v) по св-ву сложной функции, значит существует дифференциал. По правилу дифференцирования сложной функции:

3). Вывод формулы полной производной для z=f(x,y), где x=x(t), y=y(t).

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема по переменным (x;y), функции x=x(t), y=y(t) дифференцируемы по t. Тогда сложная функция z=F(t) дифференцируема по t, причем имеет место формула

Док-во:

Из условия дифференцируемости функции z=f(x;y) получаем, что

4). Вывод формулы для производной функции, заданной неявно уравнением f(x,y)=0 с использованием частных производных.

Пусть функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. Требуем, чтобы F(x,y) была дифференцируема в т. P(G)R², и в т. P. Тогда в этой точке существует производная y'(x), которая находится по формуле:

Док-во:

Т.к. F(x,y) дифференцируема в т. P(G)R², то

x здесь является независимой переменной, y- функцией. Но по св-ву инвариантности полный дифференциал имеет один и тот же вид, независимо от того, является ли y независимой переменной или функцией других независимых переменных.

3). Определение производной по направлению, вывод формулы для ее вычисления.

Производной функции U=u(x,y,z) в т. M₀(x₀,y₀,z₀) по направлению l называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции по данному направлению к смещению, при условии, что смещение стремится к нулю.

Пусть функция U=u(x,y,z) в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀,z₀) имеет непрерывные частные производные . Пусть вектор

определяет направление l. Тогда

Д-во:

Направление (l) задано вектором .

Тогда M(x,y,z)R³ составляем параметрическое уравнение прямой: x=x₀+tcos, y=y₀+tcos, z=z₀+tcos. Смещение

Рассмотрим _lU=U(x,y,z)-U(x₀,y₀,z₀)=

=U(x₀+tcos, y₀+tcos, z₀+tcos)-U(x₀,y₀,z₀) - это сложная функция от t. Введем (t)= U(x₀+tcos, y₀+tcos, z₀+tcos).

Тогда _lU=(t)-(0).

По определению производной по направлению

С другой стороны, U(M)=U(x,y,z)=

=U(x₀+tcos, y₀+tcos, z₀+tcos)=(t).

По правилу дифференцирования сложной функции

4) Определение градиента скалярного поля, доказать его свойства.

Градиентом скалярного поля в точке M(x,y,z) будем называть вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям частных производных в этой точке.

Свойства градиента:

а). Связь градиента и производной по направлению

Пусть функция U=u(x,y,z) дифференцируема в некоторой области GR³. Пусть в точке M(x,y,z)G. Рассмотрим некоторое направление (l): . Тогда

Док-во:

Отсюда следует, что значение производной по направлению равно проекции градиента на это направление:

б). Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента.

При этом

Док-во:

в). Производная по направлению, перпендикулярному направлению градиента, равна 0.

Док-во:

г). В каждой точке поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z)=C градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону возрастания функции.

Док-во:

В R³ - поверхность уровня U(x,y,z)=C=const

F(x,y,z)=U(x,y,z)-C=0

gradF=gradU.

Следствие:

В R² градиент будет направлен перпендикулярно касательной к линии уровня.

Градиент в каждой точке поверхности уровня характеризует наибольшую скорость изменения скалярного поля.

д). U₁=u₁(x,y,z), U₂=u₂(x,y,z)

Тогда grad(U₁+U₂)=gradU₁+gradU₂

е). U=u(x,y,z), A=const

Тогда grad(AU)=AgradU