Интегралы - 2003 / Интегралы

1. Определение первообразной, неопределенного интеграла. Теорема об общем виде первообразной.

Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F ‘(x)=f(x)

Неопределенным интегралом от функции f(x) на данном промежутке называется множество всех первообразных для функции f(x) на этом промежутке.

1.Если функция F(x) явл первообразной функции f(x) на некотором промежутке , то множество всех первообразных имеет вид F(x) + с, где с = const

Доказательство: F(x)+с явл первообразной для функции F(x) Рассмотрим (F(x) + c)’ = F(x)’ + c’ = F(x) +0=>F(x) + c - первообразная

2.Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные от функции f(x) на одном и том же промежутке, то найдется такое C₁, что будет выполняться равенство F₂(x)=F₁(x)+C₁

Док-во:

Составим функцию (x)=F₂(x)-F₁(x)

‘(x)=F₂’(x)-F₁’(x)=f(x)-f(x)=0

Рассм. отр [x₁,x₂] (a,b)

(x₁)=C₁ (x₂)=C₁ (надо док-ть)

(x) на [x₁,x₂] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа:

1) непрерывна на [x₁,x₂]

2) дифференцируема на (x₁,x₂)

c(x₁,x₂), (x₂)- (x₁)= ‘()(x₂-x₁)=0

(x₂)= (x₁)=C₁

(x)=C₁

F₂(x)-F₁(x)=C₁

F₂(x)=F₁(x)+C₁

2.Определенный интеграл.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что число отрезков разбиения n, а maxx_i0, и этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от способа выбора по одной точке на каждой из частей.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл от этой функции на этом отрезке существует.

3. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.(доказательство?)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то внутри этого отрезка найдется такая точка , что выполняется равенство:

4. Вычисление определенного интеграла. Док-во формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) - первообразная для f(x) на [a;b], т.е. F’(x)=f(x). Тогда найдется такое C₁, что

5. Теорема о замене переменной в определенном интеграле

Пусть x=(t), t[;], причем функция (t) - возрастающая или убывающая на [;] - имеет на этом отрезке непрерывную производную ‘(t) и ()=a, ()=b.

Пусть F’(x)=f(x) на [a;b]

Рассм. F((t)) на [;]

6.Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла.

Площадь сектора плоской фигуры в полярной системе координат:

Объем тела по поперечным сечениям (Объем тела вращения)

В частности, если кривая, заданная уравнением y=f(x) вращается вокруг оси абсцисс, то

7.Несобственные интегралы.

1.рода a)

б)

Если данный предел существует, то говорят, что интеграл существует, или сходится. Если предел не существует, то интеграл не существует или расходится.

в)свойство

Если хотя бы один из интегралов в правой части этого равенства расходится, то интеграл в левой части равенства тоже расходится.

2.рода Между верхним и нижним пределами интегрирования есть точка разрыва подынтегральной функции.

Пусть c - точка разрыва, тогда

Если хотя бы один из пределов не существует, то интеграл не существует.

Если a-точка разрыва, то

Если b- точка разрыва, то

8. Теорема об интеграле с постоянным нижним и переменным верхним пределом.

Производная от интеграла с постоянным нижним и переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе.

Д-во:

Пусть ф-ция f(t), непрерывна на [a;b]

Пусть на отрезке [x; x+x] ф-ция f(t) принимает наименьшее значение m в точке , наибольшее - М в точке  (m=f(), M=f() ).

Тогда на этом отрезке