по дискретке

Контрольная работа №1 по курсу дискретная математика «Элементы теории множеств. Отношения. Комбинаторика»

Задание 1. Для универсального множества , множества , заданного списком, и для , являющегося множеством корней уравнения .

1. Найти множества: .

2. Выяснить, какая из четырех возможностей выполнена для множеств и : , или , или , или .

3. Найти семейство всех подмножеств множества и его мощность .

Вариант 1. , , , , .

Вариант 2. , , , , .

Вариант 3. , , , , .

Вариант 4. , , , , .

Вариант 5. , , , , .

Вариант 6. , , , , .

Вариант 7. , , , , .

Вариант 8. , , , , .

Вариант 9. , , , , .

Вариант 10. , , , , .

Задание 2. Пусть , и - множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям и соответственно. Изобразите в системе координат множество , полученное из множеств , и по формуле .

Вариант 1. ; ; ; .

Вариант 2. ; ; ; .

Вариант 3. ; ; ; .

Вариант 4. ; ; ; .

Вариант 5. ; ; ; .

Вариант 6. ; ; ; .

Вариант 7. ; ; ; .

Вариант 8. ; ; ; .

Вариант 9. ; ; ; .

Вариант 10. ; ; ; .

Задание 3. а) Аналитически доказать тождества

б) Упростить выражения

Вариант 1. а) ; б) .

Вариант 2. а) ; б) .

Вариант 3. а) ; б) .

Вариант 4. а) ; б) .

Вариант 5. а) ; б) .

Вариант 6. а) ; б) .

Вариант 7. а) ; б) .

Вариант 8. а) ; б) .

Вариант 9. а) ; б) .

Вариант 10. а) ;

б) .

Задание 4. 1. Выяснить, каким из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обладает данное отношение , где - область задания отношения, - график отношения, причем .

2. Выяснить, что представляет из себя отношение .

3. Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное. Изобразить его графом и аналитически.

Вариант 1. : множество студентов вашего вуза; : учатся в одной группе.

Вариант 2. : , где - множество точек плоскости; : .

Вариант 3. : множество окружностей на плоскости; : касается .

Вариант 4. : жители России на начало этого года; : и - супруги.

Вариант 5. : жители России на начало этого года; : и состоят в одной и той же политической партии.

Вариант 6. : прямые в пространстве; : и имеют хотя бы одну общую точку.

Вариант 7. : жители России на начало этого года; : и разного возраста.

Вариант 8. : ; : и имеют одинаковый остаток от деления на 3.

Вариант 9. : ; : .

Вариант 10. : ; : и отличаются только в одной координате.

Задание 5. Выяснить – является ли данное бинарное отношение отношением эквивалентности или отношением порядка. Для отношения эквивалентности определить разбиение множества на классы эквивалентности, для отношения порядка уточнить его вид и построить диаграмму упорядочения множества.

Вариант 1. на множестве .

Вариант 2. на множестве .

Вариант 3. на множестве целых чисел.

Вариант 4. на множестве всех прямых плоскости.

Вариант 5. на множестве подмножеств множества .

Вариант 6. на множестве целых чисел.

Вариант 7. на множестве подмножеств множества .

Вариант 8. на множестве натуральных делителей числа 24.

Вариант 9. на множестве подмножеств множества .

Вариант 10. на множестве натуральных делителей числа 30.

Задание 6. Дано множество . Записать комбинации (не более 10) и вычислить их количество.

Вариант 1. Размещения элементов по 3.

Вариант 2. Сочетания элементов по 2.

Вариант 3. Разбиения на 3 блока.

Вариант 4. Размещения с повторениями по 2.

Вариант 5. Перестановки элементов .

Вариант 6. Сочетания элементов с повторениями по 3.

Вариант 7. Разбиения на 2 блока.

Вариант 8. Перестановки с повторениями элемента по два раза.

Вариант 9. Размещения элементов по 2.

Вариант 10. Сочетания элементов по 3.

Задание 7. Решите задачу.

Вариант 1. Бросают три игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо все оказавшиеся сверху грани одинаковы, либо все попарно различны?

Вариант 2. На дискотеке присутствуют 7 юношей и 5 девушек. Сколько можно образовать пар для танцев?

Вариант 3. Сколькими способами можно разложить 20 одинаковых шаров по 5 различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось не менее двух шаров?

Вариант 4. На окружности последовательно отмечены точки . Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках, не имеющих общих точек с прямой ?

Вариант 5. Сколькими способами можно разделить 4 яблока, 3 груши и 2 апельсина между 9 детьми, если каждому нужно дать, хотя бы по одному фрукту?

Вариант 6. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т. е. некоторое число очков встретилось на обеих костях).

Вариант 7. Сколько необходимо издать словарей, чтобы можно было переводить с любого на любой из нижеперечисленных языков: французский, английский, немецкий, русский, испанский, итальянский?

Вариант 8. Сколькими способами можно разложить 4 белых и 3 черных шара по 6 различным ящикам?

Вариант 9. На окружности последовательно отмечены точки . Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках, имеющих общие точки с прямой ?

Вариант 10. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если ему дают не более трех имен, а общее число имен порядка 300. (Два способа, различающихся лишь порядком имен, считаются различными.)