Колебания

Кинематика гармонических колебаний

Колебания – повторяющийся во времени процесс

x(t) A1 cos t A2 sin t

– гармонические колебания

x(t) Acos( t 0 )

A A12 A22 , tg 0 A2 A1

A – амплитуда колебаний– угловая частота

( t + 0) – фаза колебаний

0 – начальная фаза

T 2p	– период колебаний

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

z x iy

– алгебраическая форма

z (cos i sin ) – тригонометрическая форма

z ei	– показательная форма

i - 1 – мнимая единица

ei cos isin – формула Эйлера

x2 y2

– модуль комплексного числа

tg y x , – фаза комплексного числа

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

Сложение комплексных чисел

z z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )

Геометрически сложение производится по правилу параллелограмма

iy	z z	z
			2
z2	1
	z1
	x

Умножение комплексных чисел

z z1z2 1 2ei( 1 2 )

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

Комплексная форма гармонической функции

x Acos( t 0 )	z Ae	i( t 0 )

График гармонических колебаний

iy

z

t

0

x

x Re(z) Acos( t 0 )

y Im(z) Asin( t 0 )	– гармонические
	колебания

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты

x x1 x2

A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )

z z z

2

A ei( t 1 ) A ei( t 2 ) (Aei 1 A ei 2

)ei t Aei ei t

1

1

2

1

2

iy

A sin

Aei

A2 A12

A22 2A1 A2 cos( 2

1 )

A2e

i 2

1

1

tg A1 sin 1

A2 sin 2

A cos

A cos

2

A2 sin 2

1

1

2

2

A ei 1

1

1

z z z

2

Aei( t )

x

1

A1 cos 1

A2 cos 2

x Re(z)

Acos( t )

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний близких частот. Биения

x x1 x2	A1 cos( 1t 1) A2 cos( 2t 2 )	| 2 - 1 | 1
A1 > A2 ,	2 > 1

iy	2	1	z = z	+ z	2	– квазигармонические колебания с
			1			медленно меняющейся амплитудой
z		z2
						A : ( A1 A2 ) ( A1 A2 )
	z1
			x

Колебания

Комплексная форма гармонических колебаний

Биения – колебания амплитуды. Угловая частота биений | 2 - 1 |

x	Биения

A1 A2

t

x			T	2
			б

A1	A2	t

Колебания

Гармонический осциллятор

Уравнение движения системы, совершающей движение около положения равновесия при малых отклонениях

mx& f (x)

	При малых отклонениях			f (x) kx
	mx& kx		: m	2 k m
x 2 x 0	– уравнение динамики гармонических колебаний

Система, совершающая малые колебания, называется

линейным, или гармоническим осциллятором.

Общее решение x Acos( t 0 )

Колебания

Гармонический осциллятор

Пружинный маятник

		k			mx& f (x)
			m		f (x) kx
				x
	0					2	x 0	и
					x

x Acos( t 0 )

		k
		m
T	2 2			m
				k

Колебания

Гармонический осциллятор

Физический маятник

ось вращения (ось моментов)

Физический маятник – это твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси в поле тяжести

Уравнение динамики вращательного движения

l

ц.м

mg

d 2 mgl 0 dt2 I

	mgl
	I

I ddt M (e) mgl sin

d dt

sin (при малых )

& 2 0

T 2p	2p		I
			mgl