Динамика

Закон сохранения импульса

Силы	внутренние F (i)
	внешние	F (e)

В случае замкнутых (изолированных) систем внешние силы отсутствуют F (e) 0

Для замкнутых систем существуют такие функции от координат и скоростей частиц, которые не изменяют свои значения при их движении. Таких функций, называемых интегралами движения, имеется три:

1)энергия

2)импульс

3)момент импульса

Динамика

Закон сохранения импульса

dp1 F (i) F (e)

,

dt

1

1

d

(i)

(e)

+

dp2

pi

Fi

Fi

F2(i) F2(e)

,

dt

i

i

i

dt

........................

= 0 по 3 закону Ньютона

F i(i) Fij

1 (Fij Fji )

F i(i) 0

i, j

2 i,

j

p pi	– импульс системы
i
F (e) Fi(e)	– результирующая внешних сил
i

Динамика

Закон сохранения импульса

dp	F (e)	– закон изменения импульса
dt		(неофициально)

	Для замкнутых систем F (e) 0	dp	0
		dt

p const	– закон сохранения импульса
	(для замкнутых систем)

Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Динамика

Закон сохранения импульса

Баллистический маятник

Внешние (для шара и пули) силы:

сила тяжести и сила натяжения.

F (e) 0

t

m v

M

M+m

u = ?

pt const

			mv (M m)u
	t

u m v m M

Динамика

Теорема о движении центра масс

	r			mi ri mi ri				– центр масс
	С			mi			m
	d		mrC		d	miri		mvC mivi p
dt					dt
	d		mvC dp				F (e)
	dt				dt

	m	dvC	F (e)	– теорема о движении центра масс
		dt

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, а действующая сила – результирующей внешних сил, действующих на систему.

Динамика

Теорема о движении центра масс

a

x – абсолютно гладкая поверхность.

m

Внешние силы –

сила тяжести и сила реакции x.

M

Смещение ц.м. вдоль x = 0

mrC miri

m rC mi ri

A

x

rC, ri – смещения

M

m

В проекции на x

m xC mi xi

M xM m( xM A a) (m M ) xC 0

x

xM

xM

m

(A a)

m M

xm xM A a

xM < 0 M сдвинется влево.

Динамика

Движение тела переменной массы

m (t) m(t)

u

v

F

v – скорость ракеты (основной массы), u – скорость газов (убывающей массы)

относительно ракеты, F – внешняя сила.

p(t) mv – импульс ракеты

p(t dt) (m dm)(v dv) dm (v u) – импульс ракеты и газов

dp mdv dm u dmdv

dm dm

Динамика

Движение тела переменной массы

m(t)

m (t)

dp

m

dv

dm u

dt

dt

u

v

dt

dp

F

F

dt

m dv

F dm u

– основное уравнение динамики тела

dt

dt

переменной массы (уравнение Мещерского)

R	dm	– реактивная сила
	dt u
			dm
Несколько каналов изменения m:
			R	ui
			dt	i

Динамика

Движение тела переменной массы

				m(t)			Прямолинейное движение ракеты
u						v	u = const, v(0) = 0
							Уравнение Мещерского	m dv	dm u
								dt	dt

	dv u	dm		v u ln	m			m m ,то	v u
								0
		m			m0

m m0 exp( vu) – формула Циолковского

Динамика

Движение тела переменной массы

Путешествие по солнечной системе

2-я космическая скорость = 11.5 км/с u ~ 4 км/с

m m e 3	m 20	или 5% m	0
0	0

Земля

	Путешествие на Луну и обратно
Луна	2-я космическая скорость для Земли = 11.5 км/с
	2-я космическая скорость для Луны = 2.5 км/с
	u ~ 4 км/с
Земля	v ~ (11.5 + 2.5 + 2.5 + 11.5) км/с = 28 км/с
	m m e 7	m 1000
	0	0