Динамика твердого тела

Уравнения движения твердого тела

Твердое тело – это тело, расстояния между точками которого не меняется.

Твердое тело – механическая система с 6 степенями свободы

для описания его движения требуется 6 скалярных уравнений или 2 векторных уравнения:

		dvC				(e)	– теорема о движении центра масс
m			dt	F
	dL		M		(e)		– уравнение моментов
	dt

L, M – а) относительно неподвижного начала или центра масс; б) относительно подвижного начала с v = vC.

Динамика твердого тела

Равновесие твердого тела

Условия равновесия:

F (e) 0

M(e) = 0 относительно любого начала

M (e) 0

Равновесие балки

центр масс

N1 N2 mg 0

N1

O

N2

N1x1 N2 x2 0

1

2

x2

x1

x1

x2

N1

mg

N2

mg

x1

x2

x1

x2

mg

Динамика твердого тела

Уравнение моментов относительно неподвижной оси

z – неподвижная ось
(ось моментов)	dL
Уравнение моментов		M
O	dt

При проецировании на ось z

dLz	M z	– уравнение моментов относительно
dt		неподвижной оси

В цилиндрической системе координат

Lz mv

M z F

Динамика твердого тела

Уравнение моментов относительно неподвижной оси

Цилиндрическая система координат

( , , z) – координаты в цилиндрический системе координат

	z		ez	e
z
		r		e
				y

x

x cos y sin z z

e , e , ez – локальные координатные орты (направлены в сторону увеличения соответствующей координаты)

	e	e	ez
M z (r F )z	0		z
	F	F	Fz

M z F

Динамика твердого тела

Уравнение динамики вращательного движения

– ось моментов

	Lz imivi		Lz mi i2
O	vi i
	2	– момент инерции (характеризует инерционные
	Iz mi i	свойства тела относительно данной оси вращения)

	Lz	Iz	из уравнения моментов относительно
			неподвижной оси

	d	(Iz ) M z	– уравнение динамики вращательного
			движения вокруг неподвижной оси
	dt

Mz – момент внешних сил относительно оси вращения

Динамика твердого тела

Уравнение динамики вращательного движения

Работа, совершаемая моментом силы

dA Fdr F(d r) d r F M zd

dA M zd

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении

	K	1	mivi2	1	mi ( ri )2	2	mi ri2	K	Iz 2
		2		2		2			2
			i		i		i

Кинетическая энергия твердого тела

	2		2	vC – скорость центра масс,
	K mvC		IC	IC – момент инерции относительно оси
			2
	2			вращения, проходящей через центр масс

Динамика твердого тела

Теорема Гюйгенса–Штейнера

O

A

a, , ' – аксиальные вектора

ось O ||

оси A

a

2

( a)

2

2

a

2

2a

ρ

ρ

dm

2

dm

2

2

dm 2a dm

IA

dm a

2dm

I

O

dm m

C

Если O проходит через центр масс, то C 0 и

I A IC ma2	– теорема Гюйгенса-Штейнера

Динамика твердого тела

Вычисление моментов инерции

Общая формула I 2dm

1) Кольцо

m, R

I mR2

2) Диск (цилиндр)				dm m dS	2m rdr
Диск = система колец
m, R				S		R2
				2m R r3dr		1 mR2
dS 2 rdr,		S R2	I
				R2 0		2
I	1 mR2
	2

Динамика твердого тела

Вычисление моментов инерции
3) Сфера					dS
	Сфера = система колец			dm m
					S
m, R	dS 2 (R sin )(Rd ) 2 R2 sin d
	S 4 R2
	r R sin
d
	I r2dm	1 mR2		2 mR2
			sin3 d
		2	0	3

I 23 mR2

Динамика твердого тела

Вычисление моментов инерции
4) Шар			dm m dV
		Шар = система сфер
m, R		dV 4 r2dr	V

V 43 R3

2	2m R	2
I dI 3 r2dm	R3 0 r4dr	5 mR2

I 25 mR2