Волны
Волна – процесс распространения колебаний в среде Свойства волн:
1)переносят энергию и импульс;
2)не переносят вещество.
Волновое уравнение
Стержень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t) F |
|
|
|
a |
|
|
F |
|
|
F k |
a |
k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m – линейная плотность |
F(x) k |
|
|
k – линейный коэффициент |
|||
|
x |
||
упругости (на ед. длины) |
|
|
|
– продольное смещение |
|
|
|
частицы среды |
|
|
Волны
Волновое уравнение
Уравнение движения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x x) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
F(x x) F(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x x 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: m x 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x x 2 |
x |
|
x x |
|
x |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
c2 2 0 |
|||
t2 |
|
x2 |
|
|
c |
|
k |
|
– скорость распространения упругих возмущений |
|
m |
Волны
Волновое уравнение |
|
|
|
|
|
Струна |
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
Ty |
T |
|
|
|
|
|
||
T |
(x,t) |
T |
|
x |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
m – линейная плотность |
При << 1 |
T const |
|
|
T – натяжение струны |
|
|
|
|
– поперечное смещение |
Ty T sin T tg T |
|
|
|
частицы струны |
|
|
x |
<< 1
Волны
Волновое уравнение
Уравнение движения
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
T (x x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
2 |
|
Ty (x x) Ty (x) |
||||||||
|
T (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: m x 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
x x 2 |
x |
|
x x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
c2 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
c |
|
|
T |
– скорость распространения малых возмущений |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
Волны
Волновое уравнение |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
c2 |
2 0 |
|
– классическое волновое уравнение |
|||||||||
|
|
t2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Решение – бегущие волны |
(x,t) (t x |
c) |
|||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t) (t x |
c) |
– “правая” бегущая волна |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t) (t x |
c) |
– “левая” бегущая волна |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Продольная волна: (смещение частиц)
Поперечная волна: (смещение частиц)
║ x (направление движения волны)
x (направление движения волны)
Волны
Волновое уравнение
Гармоническая бегущая волна
Acos t x c
– гармоническая бегущая или
Acos( t kx) |
плоская монохроматическая волна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k c |
|
– волновое число (вектор) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
– длина волны |
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– частота волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
T |
– период волны |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волны
Упругие волны в твердых телах
Стержень |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для модели стержня |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
c |
S |
m S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
E |
l |
|
k ES |
|
|
|
|
|
S |
l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
E |
|
|
|
|||
|
|||
|
|
|
Волны в стержне не являются строго продольными, наряду с продольным смещением имеется и поперечное смещение частиц стержня
Волны
Упругие волны в твердых телах
Неограниченная среда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) продольная волна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для модели стержня |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
S |
m S |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
E l |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
k E S |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
K 4 3 G |
|
|
|
|
– модуль одностороннего сжатия |
cP |
K 4 |
3 G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волны
Упругие волны в твердых телах
Неограниченная среда
а) поперечная волна
y |
|
|
Для модели струны |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m S |
G |
|
|
c |
||
|
|
|||
|
|
|
T GS |
|
Fy S GS |
G |
|
Fy T – для струны
В неограниченной среде возмущение разделится на
cP c продольное и поперечное, причем продольное возмущение придет в точку наблюдения быстрее поперечного
Волны
Упругие волны в газах и жидкостях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F S dp S |
dp |
dV |
|
|
|
||||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
|
|
|
p p |
|
|
|
|
|
|
p |
S |
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
dV |
|
|
dp |
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F S |
V |
|
V |
S |
V |
|
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
dV |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Для модели стержня |
|
|
|
dV |
dL |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k S V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сжатие и разрежение в волне протекает без существенного теплообмена (адиабатически)