РГР2_син_токТОЭ

Таблица 2. Законы Ома и Кирхгофа в общем виде.

Закон

Математические выражения

Для мгновенных значений

Для комплексных значений

Для резистивного элемента

В общем виде

u Ri;

i Gu

U

Z I

(R jX )I;

Для индуктивного элемента

I

Y U

(G jB)U

Закон Ома

u L

di

;

i

1

udt

Для резистивного элемента

dt

L

Для ѐмкостного элемента

Z R 1 / G;

Y G 1 / R

du

1

Для индуктивного элемента

i C

;

u

idt

C

j L

jX L ;

dt

Z

1/( j L) jBL

Y

Для ѐмкостного элемента

Z 1/( j C) jX C ;

Y j C jBC

Первый закон

ik 0

Кирхгофа (для

k

Ik 0

k

узла)

Второй закон

uk 0

или

Кирхгофа (для

k

Uk

0 или

k

dik

1

контура) при

(R

i

L

i

dt

k

k

k

k

dt

C

k

последовательном

Zk Ik Ek

ek

соединении

k

k

k

резистивных,

индуктивных и

ѐмкостных

элементов ветвей.

11

4 Соединение резистивного и реактивного (индуктивного или емкостного)

элементов цепи синусоидального тока.

Синусоидальный ток и напряжение на выводах двухполюсников, состоящих из резистивного элемента и параллельно (последовательно) соединенного с ним индуктивного (емкостного) элемента приведены в таблице 3. Там же показаны

	комплексные изображения синусоидальных величин U , I						, а также операторов Z и
	Y . Во всех случаях X L L, BL	1	, X C	1		, BC C .
		L		C

5 Энергетические процессы в простейших цепях при гармоническом воздействии.

Мощность характеризует скорость передачи электрической энергии. При гармоническом токе она может изменять знак в течение периода.

Пусть напряжение и ток на зажимах пассивного двухполюсника изменяется по гармоническому закону:

u(t) 2 U cos( t u )					(12)
i(t) 2 I cos( t i )					(13)

тогда мгновенная мощность будет определена как

	p(t) u(t) i(t) 2 U I cos( t u ) cos( t i )	(14)
	U I cos U I cos(2 t u i )

Таким образом, мгновенная мощность равна сумме постоянной составляющей, которая не зависит от времени, но зависит от сдвига фаз между напряжением и током, и переменной составляющей, изменяющейся во времени с частотой в два раза большей, чем частота синусоидального тока и не зависящей от сдвига фаз между напряжением и током.

Кроме мгновенной мощности передача энергии характеризуется тремя не зависящими от времени значениями:

- активной Р мощностью, представляющей собой среднее значение мгновенной мощности за период (постоянная составляющая мгновенной мощности)

		1	T
	P		p(t)dt U I cos Re U I , Вт		(15)
		T
			0

12

где I - комплексно-сопряженное значение тока.

По знаку активной мощности можно судить о направлении передачи энергии:

при Р>0 двухполюсник потребляет энергию, при Р<0 – отдает энергию другой части цепи.

- реактивной Q мощностью, характеризующей процессы обмена энергией

между источником и цепью и представляющей собой максимальную скорость запасания энергии в цепи

Q U I sin Im U	I	(16)
По знаку реактивной мощности можно судить о характере запасаемой
энергии: при Q>0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при		Q<0 – в
электрическом, при Q=0 в цепи отсутствует обмен энергией с источником.
-полной S мощностью, представляющей собой максимально		возможное

значение активной мощности цепи, которое имеет место при =0 и равна амплитуде колебания переменной составляющей мгновенной мощности

	S U I	P2 Q2	(17)
Активная Р, реактивная Q и полная S мощности могут выражены одним
~	, называемым комплексной мощностью
комплексным числом S
~
			(18)
S P j Q U I U I (cos j sin )

Для измерения активной мощности двухполюсника применяются измерительные приборы – ваттметры W, представляющие собой аналоговые интегрирующие устройства, вычисляющие среднее за период значение произведения мгновенного

тока и напряжения на выводах измерительного прибора:

			1	T
	P			u(t) i(t) U I cos ReU I		(19)
		T
				0

13

Таблица 3 Синусоидальные токи и напряжения на выводах двухполюсников

Закон

Ома

в

Схема

Уравнения

Связь между

комплексной

форме

для

i I m sin( t

i )

Z R jX Ze j

мгновенных

и

значений i и u

u U m sin( t u )

jB Ye j

Y G

1

2

3

4

Последовательное

По второму

u RImsin( t i )

соединение

закону

LImcos( t i )

U Z I;

I

Y U,

R и L

Кирхгофа,

u u R u L

Umsin( t u );

Um ZIm

Z R jX L ;

di

Ri L

1

R jX L

Im R 2 XL2 ;

Y

;

dt

2

2

XL L;

Z

R

XL

i arctg L ;

1

u

Z

R 2 XL2

Y

R

arctg

XL

R

Параллельное

По

первому

соединение G и L

закону

i G Umsin ( t u )

I

Y U;

U Z I,

Кирхгофа,

1

Umc o s ( t

i iG iL

L

u ) Im sin ( t i ) ;

Y G jB L;

Gu

G jB L

I

m

Y U

m

Z

;

1

udt

G 2 B L2

U

2

B

2

L

G

;

m

L

1

Y

G 2 B 2

1

B L

;

Z

L

L

i

u arctg

1

;

L G

arctg

B L

G

14

			Векторная диаграмма		Графики
	Изображения Z и
					i(t) и u(t)
	Y	на комплексной	( U U	u ;
		плоскости
			I I i )
		5	6		7

U R R I; U L jX L I

X0 ; B 0 ;

0

u i 0

					1
	IG G U; I			j		U
			L		X L
	X 0 ; B 0 ;
	0

15

Продолжение таблицы 3

1

2

3

4

u R Im sin

( t i )

Последовательное

По второму

U Z I;

I Y U,

соединение

закону

1

R и C

Кирхгофа,

Im

c o s ( t u )

u u R u C

C

Z R jXC ;

Um sin

( t u ) ;

jXC

Ri

R

Um Z Im

Y

;

1

idt

R

2 X2

Im

R

2

X

2

;

C

C

1

C

Z

XC

1

;

Y

C

R

2

2

1

XC

u i arctg

;

R C

arctg

XC

R

i G U m sin ( t u )

Параллельное

По первому

I Y U;

U Z I,

соединение G и C

закону

C Umc o s ( t u )

Кирхгофа,

i iG iC

Im sin

( t u ) ;

Y G

jB C ;

jB C

G

du

2

2

Z

;

Gu C

Im YUm Um G

BC ;

G

2

2

dt

BC

1

B C C ;

Y

Z

i u arctg C

;

G 2

BC2

G

arctg

B C

G

16

5

6

7

UR R I; UC jXC
X 0 ; B 0 ;
0

u i 0

	X 0 ; B 0 ;	IG G U;
	0		1
		IC j		U
			XC

17

Рисунок 2

Баланс мощностей в цепи синусоидального тока.

Сумма мощностей источников равна сумме мощностей приемников.

				n			m			l
				Ek		I k	U k J k			Z k I k2	(20)
				k 1			k 1			k 1
n
где Ek I k				- алгебраическая сумма произведений комплексного действующего
k 1
значения		ЭДС		источника		напряжения				на комплексно-сопряженный	ток этого
источника;
m
U k J k				- алгебраическая сумма произведений комплексного напряжения на

k 1

источнике тока на комплексно-сопряженный ток этого источника;

l

Z k I k2 - алгебраическая сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми

k 1

активными элементами.

Слагаемые, стоящие в левой части выражения (20), берут со знаком плюс,

если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рисунком 3, в противном случае эти слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения представляет собой сумму комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

18

Рисунок 3

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных

иреактивных мощностей:

1)активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности потребителей:

PИСТ РПОТР

(21)

2)реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей:

QИСТ QПОТР

(22)

6Резонансы в пассивных двухполюсниках.

6.1Резонанс напряжений в пассивных двухполюсниках.

Резонансом электрической цепи называется такое состояние цепи, когда,

несмотря на наличие реактивных элементов в цепи ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе.

Рассмотрим цепь (рисунок 4), состоящую из последовательно соединенных активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора и подключенную к источнику синусоидального напряжения

u(t) U m sin t

(23)

Рисунок 4

Полное сопротивление данной цепи можно определить по формуле:

19

Z R2

X 2 ,

(24)

где R – суммарное активное сопротивление цепи (необходимо учитывать активное

сопротивление катушки индуктивности),

R Rн Rк ,

(25)

где RН – активное сопротивление нагрузки,

RК – активное сопротивление катушки индуктивности,

X - реактивное сопротивление цепи

X L

1

(26)

C

Тогда действующее значение тока в цепи

I

U

(27)

Z

Угол сдвига фаз между входным напряжением и током, протекающим по цепи

L

1

X

C

arctg

arctg

(28)

R

Rн Rк

Из этой формулы видно, что угол сдвига фаз может быть положительным и

отрицательным, в зависимости оттого какое сопротивление в цепи преобладает:

если индуктивное ( L	1	),	то >0, а если емкостное ( L	1	), то <0;
	C			C

условием резонанса в рассматриваемом контуре будет равенство нулю реактивного

сопротивления, т.е. Х=0 или L	1	. Изменение частоты приводит к
	C

изменению реактивного сопротивления цепи, а изменение реактивного сопротивления ведет к изменению режима цепи. Зависимости параметров цепи от частоты называют частотными характеристиками. Частотные характеристики для рассматриваемой схемы изображены на рисунке 5.

20