пособие

2.1. Теплопроводность в полуограниченном теле

Рассмотрим тело, простирающееся в бесконечность в направлении осей

±y, ±z и +x и ограниченное плоскостью, перпендикулярной к оси x при x=0. Такое тело принято называть полуограниченным. Если материал тела однороден и изотропен, его теплофизические свойства не зависят от температуры, внутренние источники теплоты отсутствуют, а поле температуры в этом теле в любой момент времени τ предполагается одномерным, то соответствующее уравнение нестационарной теплопроводности имеет вид:

1		∂t(x ,τ)	=	∂2t(x , τ)
					,	(2.3)
a		∂τ		∂x 2

где a -коэффициент температуропроводности материала тела. Примером полуограниченного тела может служить длинный стержень, боковая поверхность которого имеет идеальную тепловую изоляцию (рис.2.1,а).

Рис. 2.1. Математическая модель полуограниченного тела (а) и распределение температуры в нем в различные моменты времени при разного рода граничных условиях : 1-го (б); 2-го (в); 3-го (г) рода

Уравнение (2.3) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных и имеет бесчисленное множество частных решений. Чтобы решить конкретную задачу, т.е. найти распределение температуры t(x,τ) в рассматриваемом теле для каждого

40

момента времени τ > 0, необходимо задать условия однозначности, а именно начальный вид функции t(x,0)=f(x) и два граничных условия. Одно из граничных условий задается на поверхности тела x=0. Оно может быть 1, 2 или 3-го рода.

Граничное условие 1-го рода (рис.2.1,б) состоит в том, что температура тела при x=0 внезапно изменяется от начальной величины до некоторого другого значения, которое затем остается постоянным:

t(0,τ) = tс = const.

(2.4)

В случае граничного условия 2-го рода (рис.2.1,в) принимается, что, начиная с момента времени τ=0, граница тела x=0 подвергается воздействию теплового потока плотностью qc, который впоследствии не изменяется:

− λ	∂t(0, τ)	= qс = const .	(2.5)
	∂x

Граничное условие 3-го рода (рис.2.1,г) означает, что в начальный момент времени поверхность тела при x=0 начинает охлаждаться (или нагреваться) жидкостью с постоянной температурой tж по закону конвекции:

λ

∂t(0,τ)

= α[t(0,τ) − t ],

(2.6)

∂x	ж

где α - коэффициент конвективной теплоотдачи.

Поскольку второй границы у полуограниченного тела не существует, в качестве второго условия, определяющего поведение функции t(x,τ) при изменении координаты x, принимают, что на бесконечно большом удалении от поверхности x=0 температура тела не изменяется, или

∂t(∞,τ)	= 0 .	(2.7)
∂x

Решение задачи о распределении температуры в полуограниченном теле удобно искать операционным методом. Для этого применим преобразование Лапласа относительно переменной τ к дифференциальному уравнению (2.3):

	1		∂t(x ,τ)			∂2t(x ,τ)
L					= L		,
			∂τ			∂x 2
a

41

где

∞
L[t(x ,τ)] = ∫t(x ,τ)e− sτd τ = T(x ,s) .	(2.8)
0

В выражении (2.8) s - некоторая комплексная величина, а T(x,s) представляет собой изображение по Лапласу функции t(x,τ), которая по отношению к этому изображению является оригиналом. Согласно правилам преобразования Лапласа получим

	1	[s T(x ,s) − f (x )] =	d 2T(x ,s)	,	(2.9)
	a		d x 2

где f(x) - функция, описывающая начальное распределение температуры в теле. Так как уравнение (2.9) не содержит времени τ, а s рассматривается в качестве параметра, вместо дифференциального уравнения (2.3) для оригинала функции t(x,τ) имеем обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения T(x,s).

Если в начальный момент времени температура полуограниченного тела всюду одинакова и равна t0, то общее решение уравнения (2.9) имеет вид:

T(x ,s) −

t

0

s

s

= A

exp

x + A

2

exp −

x ,

(2.10)

s

1

a

a

где константы A1 и A2 определяются из граничных условий. Применяя преобразование Лапласа к условию (2.7), получим T′(∞,s)=0, откуда следует, что константу A1 нужно положить равной нулю. Константу A2 можно определить из преобразованного по Лапласу граничного условия при x=0 (см. уравнения (2.4)-(2.6)). Наконец, используя обратное преобразование Лапласа, по полученному результату найдем искомое решение задачи о распределении температуры в полуограниченном теле в любой момент времени, т.е. функцию t(x,τ), удовлетворяющую уравнению теплопроводности (2.3) и заданным начальному и граничным условиям.

Задание

1.Используя метод преобразования Лапласа, для заданного граничного условия (см. исходные данные) найти нестационарное температурное поле

42

в полуограниченном стержне (x ≥ 0) с теплоизолированной боковой поверхностью, если в начальный момент времени температура стержня везде одинакова и равна t0.

Примечание. Чтобы найти оригинал функции t(x,τ), можно воспользоваться одним из соответствующих полученному изображению обратных преобразований Лапласа:

−1

1

−k

k

s

L

e

= 1 − erf

,

s

2

τ

2

k

1

τ

k

−1

−k s

= 2

−

− k erfc

,

L

e

exp

s s

π

4τ

2

τ

1

k

k

L−1

e

− k s

= erfc

− exp(ck + c2

τ)erfc

+ c τ ,

1

2

τ

2

τ

s 1

+

s

c

	2			u
где erf (u) =				∫e− u2	d u - функция ошибок Гаусса; erfc(u) = 1 − erf (u).
		π 0

2.Рассчитать на ЭВМ температуру стержня из заданного материала в моменты времени τ=5; 100; 500; 1500; 3000; 5000 с в сечениях x 102=0; 0,5; 1; 2; 3; 5; 9; 13; 17 м.

3.Проанализировать результаты аналитического решения задачи и данные выполненных расчетов. Построить графики, иллюстрирующие изменение температурного поля стержня во времени.

Исходные данные

Вариант 1. Граничное условие 1-го рода: tc = 0 0C, t0 = 200 0C;

а) стальной стержень, a = 12,5 10-6 м2/с; б) стеклянный стержень, a = 4,42 10-7 м2/с.

Вариант 2. Граничное условие 2-го рода: qc = 5 103 Вт/м2, t0 = 0 0C;

а) стальной стержень, a = 12,5 10-6 м2/с, λ = 45 Вт/(м К);

б) стеклянный стержень, a = 4,42 10-7 м2/с, λ = 0,74 Вт/(м К).

43

Вариант 3. Граничное условие 3-го рода:

tж = 0 0C, α = 750 Вт/(м2 К), t0 = 100 0C;

а) см. п.а) варианта 2; б) см. п.б) варианта 2.

В отчете необходимо представить:

1.Результаты аналитического решения задачи теплопроводности в полуограниченном теле.

2.Данные расчета на ЭВМ поля температур в виде таблиц и графиков.

2.2.Теплопроводность неограниченной пластины, бесконечно длинного цилиндра, шара

На практике часто встречаются задачи, когда требуется рассчитать переходный тепловой процесс, обусловленный нагреванием или охлаждением твердого тела в окружающей среде, температура которой отличается от первоначальной температуры тела. Если до начала теплового воздействия температура тела t была везде одинакова и равна t0, а температура окружающей среды tж не изменяется со временем, то распределение температуры в любой момент времени τ для однородного и изотропного тела с постоянными теплофизическими свойствами можно

описать уравнением теплопроводности

1 ∂t

= div(grad t )

(2.11)

a ∂τ

с начальным условием

t = t0 = const

при τ = 0

(2.12)

и условием на границах тела

λ

∂t

F

= α(t

F

− t

ж

),

(2.13)

∂n

где n - внешняя нормаль к поверхности тела F, α - коэффициент теплоотдачи к окружающей среде.

Ниже рассматриваются одномерные задачи нестационарной теплопроводности для тел простейшей геометрической формы, наиболее

44

(2.11)-(2.13)

часто встречающихся на практике (рис.2.2). Применительно к этим телам систему уравнений можно преобразовать к следующему безразмерному виду:

∂Θ

1 ∂

m ∂Θ

=

ξ

,

(2.14)

∂ F o

ξ m ∂ξ

∂ξ

Θ = 1

при Fo =0,

(2.15)

∂Θ

= 0

при ξ = 0,

(2.16)

∂ξ

∂Θ

+ Bi Θ = 0

при ξ = 1.

(2.17)

∂ξ

Рис. 2.2. Изменение температурного поля в телах простейшей геометрической формы при охлаждении в среде с постоянной температурой: â неограниченной пластине (а); â бесконечно длинном цилиндре (б); в сплошном шаре (в)

Здесь Θ = t − tж - безразмерная температура; ξ - обобщенная безразмерная t0 − tж

координата, равная x/δ для пластины, r/r0 - для цилиндра и шара; Fo - число

45

Фурье (aτ / δ2 - для пластины, aτ / r02 - для цилиндра и шара); Bi - число Био

(αδ/λ - для пластины, αr0/λ - для цилиндра и шара). Нетрудно заметить, что в уравнении теплопроводности (2.14) необходимо положить m=0 в случае пластины, m=1 - для цилиндра и m=2 - для шара. Остальные уравнения отражают начальное условие (уравнение (2.15)), условие симметрии температурного поля относительно центральной плоскости пластины или условие ограниченности температуры на оси цилиндра и в центре шара (уравнение (2.16)), граничное условие на поверхности теплообмена с окружающей средой (уравнение (2.17)).

Для решения задач типа (2.14)-(2.17) чаще всего применяют хорошо известный классический метод разделения переменных, или метод Фурье, использование которого в рассматриваемом случае приводит к следующему результату:

∞

(µ

ξ)exp(− µ2 F o),

Θ = ∑ A

Ψ

k

(2.18)

k =1

k

k

k

где µk и Ψk(µkξ) - собственные числа и собственные функции задачи

1

∂

∂Ψ

+ µ2

ξ m

k

Ψ = 0 ,

(2.19)

ξ m ∂ξ

∂ξ

k

k

∂Ψk

= 0

при ξ = 0,

(2.20)

∂ξ

∂Ψk

+ Bi Ψ = 0

при ξ = 1,

(2.21)

∂ξ

k

а Ak - коэффициенты, которые выбираются таким образом, чтобы удовлетворить начальному условию (2.15):

∞
1 = ∑ Ak Ψk (µ k ξ).	(2.22)

k =1

Вид собственных функций Ψk и характеристических уравнений для определения собственных значений µk, которые получаются при решении задачи (2.19)-(2.21) для каждой конкретной формы твердого тела, а также формулы для расчета коэффициентов Ak приведены в таблице.

46

Характеристики уравнения (2.18)

Форма тела

Собственные

Коэффициенты Ak

Характеристическое

функции Ψk

уравнение

Пластина

cos(µkξ)

2sin k

k

= ctg k

ξ=x/δ,

k + sin k cos k

Bi

Bi=αδ/λ, Fo=aτ/δ2

Цилиндр

2 J1(µ k )

µ k

J0 (µ k )

ξ=r/r0,

J0(µkξ)

=

µ

[J2 (µ

)

+ J2 (µ

)]

Bi=αr0/λ, F o = aτ / r2

Bi J1(µ k )

k

0

k

1

k

0

Шар

sin(µ k ξ)

2(sin µ k

− µ k cos µ k )

µk

= tg µ k

ξ=r/r0,

µ k ξ

µ k − sin µ k cos µ k

1 − Bi

Bi=αr0/λ, F o = aτ / r2

0

Из совокупности представленных зависимостей следует, что критерии Био и Фурье являются важными параметрами, которые определяют поле температуры в твердом теле при его охлаждении или нагревании в среде с постоянной температурой. На практике наибольший интерес представляют значения температуры в некоторых характерных точках тела, а именно в его середине (ξ=0) и на поверхности теплообмена с окружающей средой (ξ=1). Для удобства инженерных расчетов составлены и имеются в справочной литературе специальные номограммы, по которым при заданных числах Био и Фурье легко определить изменение относительных избыточных температур Θ(Bi,Fo) в нестационарном тепловом процессе для указанных точек неограниченной пластины, бесконечно длинного цилиндра и сплошного шара.

Задание

1.Используя метод разделения переменных, получить аналитическое решение одномерной задачи нестационарной теплопроводности в теле заданной геометрии при его охлаждении в среде с постоянной температурой.

2.Используя исходные данные, рассчитать на ЭВМ поле температур в теле через 1, 5, 20, 50, 100, 200 и 300 с после начала охлаждения.

3.Проанализировать полученное аналитическое решение и результаты численных расчетов. Построить графики, иллюстрирующие распределение температур в теле в различные моменты времени, а также характер изменения температуры в середине и на поверхности тела со временем.

4.Сравнить полученные результаты с данными имеющихся номограмм.

47

Исходные данные

Вариант 1. Неограниченная пластина, симметрично охлаждаемая с двух сторон:

толщина 2δ = 20 мм; материал - керамика; объемная теплоемкость сρ = 2,5 106 Дж/(м3 К); коэффициент теплопроводности λ = 2,5 Вт/(м К); начальная температура t0 = 200 0C;

температура охлаждающей жидкости tж = 20 0С; коэффициент теплоотдачи α = 250 Вт/(м2 К).

Вариант 2. Неограниченная пластина, симметрично охлаждаемая с двух сторон:

коэффициент теплоотдачи α = 10 Вт/(м2 К); остальные данные - см. вариант 1.

Вариант 3. Неограниченная пластина, симметрично охлаждаемая с двух сторон:

коэффициент теплоотдачи α = 2500 Вт/(м2 К); остальные данные - см. вариант 1.

Вариант 4. Бесконечно длинный цилиндр: диаметр 2r0 = 20 мм;

остальные данные - см. вариант 1. Вариант 5. Сплошной шар:

диаметр 2r0 = 20 мм;

остальные данные - см. вариант 1.

В отчете необходимо представить:

1.Результаты аналитического исследования задачи нестационарной теплопроводности.

2.Данные численных расчетов поля температур в теле заданной формы в виде таблиц и графиков.

3.Примеры, иллюстрирующие сравнение данных численных расчетов с результатами аналитического решения задачи и имеющимися номограммами.

2.3.Нестационарные тепловые процессы в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов

При анализе нестационарных процессов в ядерных реакторах, связанных с изменением мощности при пуске, остановке, при переходе с одного режима

48

работы на другой, в случае аварийных ситуаций важное место занимают расчеты переменных во времени температурных полей в тепловыделяющих элементах активной зоны. Необходимая скорость изменения мощности ядерного реактора зависит от назначения установки, ее особенностей. Однако в любом случае она не должна выходить за определенные пределы, поскольку при быстром разогреве или расхолаживании активной зоны возникающие в конструкции высокие температурные градиенты и термические напряжения могут существенным образом отразиться на работоспособности твэлов вследствие их недопустимой деформации или даже таких серьезных повреждений, как потеря герметичности в результате появления трещин в оболочке.

Для определения температурных полей тепловыделяющих элементов в переходных режимах используется нестационарное уравнение теплопроводности, которое записывается по отдельности для каждой составной части твэла. Рассмотрим, например, типичный стержневой твэл с керамическим ядерным топливом (рис.2.3),

Рис. 2.3. Изменение температурного поля при ступенчатом набросе мощности в стержневом тепловыделяющем элементе с керамическим ядерным топливом; 1 - топливный сердечник; 2 - защитная оболочка; 3 - технологический зазор; 4 - центральная полость

включающий в себя топливный сердечник из UO2 c центральным отверстием малого диаметра и защитную оболочку. Между топливным сердечником и оболочкой имеется небольшой технологический зазор. Внутренняя полость твэла (зазор и центральная полость) заполнены теплопроводным газом. Снаружи тепловыделяющий элемент охлаждается жидкостью, имеющей

49