Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

отрицательно определенная симметричная матрица, αi , i 1, 2,3 ,

действительные числа.

Для НР dμ g f g dg справедливо разложение в ряд Фурье

(5.4) с коэффициентами Cmnl , которые определяются из уравнения

(5.5) для заданных параметров αij , αi , i, j 1,2,3.

Определение 5.2. НР называется каноническим нормальным распределением (КНР), если αij 0 , i j , αi 0 .

КНР вычисляется в виде ряда Фурье (5.4), коэффициенты Cmnl

определяются из уравнения (5.5), где

3

Bl αii Ai2 i 1

есть пятидиагональная квадратная матрица порядка (2l+1) с эле-

ментами:

bl

bl

1

2m

m2

α α

l m α

,

22

33

m,m

m, m

2

1

11

m 0,1,...,l ,

l 0,1,...,

bl

bl

bl

bl

(5.6)

m,m 2

m 2,m

m, m 2

m 2,m

1

m 1 m 2 2l m 2l m 1

α11 α22

,

4

m 0,1,...,l 2 , l 0,1,....

Определение

5.3.

Центральным

нормальным

распределением

(ЦНР) называется КНР при α ε2 ,

i 1, 2,3 .

ii

ЦНР может быть записано по характерам представлений

121

										1
						sin l						t
f t 2l 1 exp( l l 1 ε2 )										2				,	(5.7)
								t
l 0
							sin
								2
где
cos	t	cos	θ	cos	θ ψ		.
2			2		2

Рис. 5.3

На рис. 5.3 изображено ЦНР при ε 0,1, lmax 31 (случай а) и ε 0,5 , lmax 7 (случай б). Инвариантная мера при переходе к ха-

рактерам представлений

dg

1

sin

2

t

dt ,

π t π .

π

2

Для ЦНР (5.7) при ε 0,5

справедливо аналитическое прибли-

жение [22]:

2

ε

t 2

f t

1

π

ε

exp t2

4ε2

exp

erfc

ε2

ε2

2

4

2

sin t

122

t 2

sin t

2

t 2

exp t

2 4ε2

ε2 sin t

sin t

2

2

t 2

1

exp t2

4ε2

sin t

2 cos t

2 t

2

O ε . (5.8)

2 t 2 3

6

5.2. Алгоритм статистического моделирования нор-

мальных распределений на SO(3)

Введем необходимые параметры группы SO(3).

Пусть g	i	t , i 1, 2,3 , однопараметрические подгруппы
						cost			sin t		0
		g		t		sin t			cos t		0		,
		1
								0	0		1
						cos t			0	sin t
		g2	t					0	1		0		,
									0	cos t
						sin t
						1		0			0
		g3								sin t
			t				0	cos t				.
							0	sin t		cos t

Касательные матрицы определяются следующим образом:

							e		t	lim		gi t		e		.
							i			t	0		t
Обозначим
	1		0	0						1		0	0					0		0	1
1								2									3
h		0	1	0		,	h				0	0	1		,	h			0	1	0	.
		0	0	1							0	1	0						1	0	0
										123

Алгоритм моделирования методом Монте-Карло нормальных

распределений общего вида на группе SO(3) имеет вид [7]:

1)задание параметров НР αij , αi , i, j 1,2,3;

2)задание показателя свертки n;

3)вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы 3-го порядка:

Mαij ei ej , i, j 13

обозначим эту систему как λq , νq ,	q 1,2,3 ;

4)вычисление величин αii , i 1, 2,3 :

		λ3 λ2 λ1			λ2 λ3 λ1			λ1 λ2	λ3	;
α11		2	, α22		2	, α33		2

5)вычисление матрицы

g0 pq νq p ,				p, q 1,2,3 ;
6) вычисление матрицы
		1		3
gn0	exp			αiei ;
		n
				i 1

7)вычисление случайной величины, являющейся приближе-

нием нормальной случайной величины:

n

3

6αii

1

ξ

g0 g

hi g

2

j

i 1

g

1

, (5.9)

ξi

h

0

n

0

1

n

2

i 1

j 1

где ξij – независимые реализации случайной величины равномерно распределенной на интервале (0,1).

124

По сути своей, окончательная формула для моделирования НР в виде случайной ортогональной матрицы вращения (5.9) подобна формуле (2.6) для моделирования методом Монте-Карло одномер-

ной случайной величины, распределенной по нормальному закону в R1 . И в том и в другом случае используется центральная пре-

дельная теорема для получения приближения к НР.

Отметим, что углы Эйлера вращения в виде матрицы (5.3) за-

ключены в пределах π θ, ψ π , 0 θ π . На формирование од-

ной матрицы (5.3) используется 3n равномерно распределенных случайных чисел в (0,1). В численных расчетах используется ми-

нимальное количество сверток n=6. Таким образом, чтобы получить одну ориентацию g θ,θ,ψ SO(3) , распределенную при-

ближенно по нормальному закону требуется 18 равномерно рас-

пределенных на (0,1) случайных чисел.

В [7] проводилось некоторое тестирование численных реализа-

ций указанного алгоритма (теоретически справедливость метода строго доказана при n ) с помощью критерия χ 2 . Для рас-

смотренных примеров достаточно n 20 и N 104 2 104 испы-

таний для того, чтобы выполнялся уровень значимости 5% χ 2 кри-

терия.

125

На рис. 5.4 изображены результаты вычисления проекции на сферу S 2 КНР с параметрами α11 α22 0,1, α33 1 тремя спосо-

бами:

1)точное распределение (линия 1), полученное путем сумми-

рования ряда Фурье;

2)получаемое статистическим методом и изображенное в ви-

де гистораммы (линия 2);

3) средние значения точного метода, полученные усреднением результатов согласно разбиению отрезка на части по методу гисто-

грамм (линия 3).

Из рисунка видим, что визуально результаты близки между со-

бой.

В [23] сравниваются три метода вычислений НР на группе

SO(3):

метод рядов Фурье (МРФ);

метод аналитических приближений (МАП);

126

метод Монте-Карло (ММК).

МРФ дает непрерывную функцию (теоретически доказано, что эта функция бесконечное число раз дифференцируема), требует подбора подходящего количества членов ряда Фурье для вычисле-

ния с требуемой точностью, вычисления коэффициентов разложе-

ния в ряд Фурье из уравнения (5.5).

МАП разработан для КНР с параметрами αii 0,5 , i 1, 2,3 , да-

ет непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию, тре-

бует очень мало компьютерного времени для вычислений. Пример подобного приближения здесь дан только для ЦНР – формула (5.8)

для функции (5.7).

ММК дает дискретные значения для НР в виде набора ориента-

ций, требует выбора подходящих значений параметров для вычис-

лений – показателя свертки n и количества ориентаций N. Этот ме-

тод требует намного больше компьютерного времени для вычисле-

ний по сравнению с другими двумя методами.

Метод Монте-Карло используется для моделирования ориента-

ций зерен поликристаллического материала при исследовании точ-

ности вычисления функции распределения зерен по ориентациям

(ФРО) и других статистических характеристик для изучения физи-

ко-механических свойств материалов.

В последние годы возросли технические возможности элек-

тронной микроскопии, стало возможным измерение 104 107 ори-

ентировок зерен с целью изучения микротекстуры (форма и разме-

ры зерен, границы зерен и т.д.) и макротекстуры (ФРО, функцию

разориентаций (углов между зернами) и т.д.).

127

В приложении 2, написанного К.Н.Рогинским, приведены чис-

ленные примеры использования метода Монте-Карло для модели-

рования набора ориентаций с целью исследования различных ста-

тистических характеристик.

128

Статистические методы анализа явлений

основаны на теории вероятностей.

Ю.Д. Максимов

Заключение

Данное учебное пособие содержит начальные сведения по ма-

тематической статистике и методу Монте-Карло. Приведены при-

меры и задачи для самостоятельной работы с целью усвоения рас-

сматриваемого материала. Применение метода Монте-Карло в фи-

зике и экономике представлено простейшими моделями с указани-

ем путей их совершенствования.

Круг задач, решаемых методами Монте-Карло, быстро расширя-

ется в связи с всѐ возрастающими возможностями вычислительной техники. В частности, решаются задачи:

оптимизации работы фирмы с целью повышения прибыли путем математического и статистического моделирования функ-

ционирования всех звеньев;

изучения физических и механических свойств поликри-

сталлических материалов, включая наноматериалы, путем физико-

математического и статистического моделирования процессов формирования текстуры (кристаллизация, деформация, изменение фазы материала, рекристаллизация и т.д.).

129

Список рекомендуемой литературы

1.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Теория вероятностей и математическая статистика. Т. 1. М.: ЮНИТИ, 2001, с. 656.

2.Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики.

Т. 2, М.: ЮНИТИ, 2001, с. 432.

3.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М.: ЮНИТИ, 2001, с. 271.

4.Бахвалов Н.С. Численные методы. Ч. 1. М.: Наука, 1973, с. 631.

5.Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математи-

ческой статистики. М.: Изд. МГУ, ЧеРо, 1998, с. 192.

6. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984, с.

472.

7. Боровков М.В., Савелова Т.И. Нормальные распределения на

SO(3). М.: МИФИ, 2002, с. 94.

8. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г., Шрей-

дер Ю.А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

М.: ФМЛ, СМБ, 1962, с. 362.

9. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.

Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. М.:

Агар, 2003, с. 326.

10. Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимо-

ва. СПб.: Иван Федоров, 2001, с. 589.

11. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965, с. 588.

130