Математика_Семестр1_РГР_Матан_7

Общий термин для максимума и минимума – экстремум. Исследование на экстремум функ-

ции нескольких переменных основано на следующих двух теоремах.

Теорема 6. Необходимое условие экстремума.

Пусть в точке M 0 x0 ; y0 функция z f x; y имеет экстремум. Если в этой точке сущест-

вуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю:

	z		x0	; y0	0
	x
					.	(17)
	z
			x0	; y0	0
	y

Точки, в которых выполняются условия (17), называются стационарным или точками возможного экстремума.

Теорема 7. Достаточное условие экстремума.

Пусть функция z f x; y имеет непрерывные частные производные до второго порядка

включительно в стационарной точке x0 ; y0 и некоторой ее окрестности. Обозначим через

a11 fxx x0 ; y0 , a12 fxy x0 ; y0 , a22 f yy x0 ; y0

и составим определитель:

				a11		a12	a a	22	a 2 .	(18)
				a12		a22	11		12
Если:
1)	0, a11		0 , то x0 ; y0		– точка максимума функции					f x; y ;
2)	0, a11		0 , то x0 ; y0		– точка минимума функции					f x; y ;
3)	0	, то в точке x0 ; y0			функция f x; y не имеет экстремума;
4)	0	, то вопрос о наличии или отсутствии экстремума остается открытым.

В связи со сформулированным выше определением и теоремами сделаем следующие важные за-

мечания:

1)если определение экстремума и теорема 6 носят общий характер, то теорема 7 справедлива только для функции двух переменных;

2)если определитель 0 , то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума сле-

дует либо обратиться к определению (формулы (4.16)), либо привлечь высшие производные;

3)критическими являются также и такие точки, в которых хотя бы одна из частных производ-

ных первого порядка не существует, а остальные равны нулю; такие критические точки мож-

но исследовать на экстремум только по определению (16).

Пример 12. Исследовать на экстремум следующие функции z 8x3

y3 6xy 7 .

Решение. Находим стационарные точки: zx 24x2

6 y, zy

3y2 6x . Решаем систему:

2

0

2

4

1

24x 6 y

y 4x

16x

2x 0 x1

0, x2

y1

0, y2 1 .

6x 0

2x 0

2

3y2

y2

Итак, стационарными точками являются M1 0; 0 , M 2 12 ; 1 .

11

Проверим выполнение достаточных условий экстремума (см. теорему 7) в этих точках. Находим:

	zxx 48x, zxy 6, zyy					6 y .
	а) Для точки M1 0; 0 получаем: a11						a22	0, a12			6	и M1 36 0 ; следовательно, в точке M1
	функция не имеет экстремума.
	б) Для точки	M		1		; 1 получаем:	a 24, a				6, a			6	и M		24 6 36 0 , и, так как
			2										22			2
							11	12
				2
								1
	a11 0 , то M1	– точка минимума функции,						zmin			; 1	4 .
								2

2) z x y 2 y 1 3 . Находим стационарные точки:

zx 2 x y , zy	2 y x 3 y 1 2	x y 0				0 1; 1 .
		. Решаем систему:	y x 3 y 1	2	M
		2			0

Проверим

выполнение

достаточных

условий

экстремума

в

точке

M 0 . Находим

zxx 2, zxy 2,

zyy

2 6 y 1 , тогда a11 2,

a12 2, a22

2

, M 0 0 и вопрос об экстремуме остается открытым.

Исследуем

знак

полного приращения

функции

в

точке

M 0 .

Находим

z 1; 1 z x; y z 1;

1 x y 2 y 1 3 .

Пусть точка M x; y

лежит на прямой

y x . Тогда

z y 1 3

и z 0 ,

если

y 1 (т.е. точка

M

лежит на прямой

выше точки M 0 ), и z 0 , если

y 1. Так как вблизи точки M 0 приращение z

не сохраняет знак,

то в точке M 0

функция не имеет

экстремума.

8. Наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой ограниченной области

Замкнутая ограниченная область D на плоскости – это аналог отрезка на числовой прямой, а

открытая область – аналог интервала. Примеры на рис.4. иллюстрирует сказанное.

		y D : x2 y2 1			y D : x2 y2 1

								1 x		1 x
открытое ограниченное										замкнутое ограниченное
			множество							множество

Рис. 4.

Как и в случае функции одной переменной, функция z f x; y , непрерывная в замкнутой ограниченной области D , достигает в ней хотя бы один раз своего наибольшего и наименьшего зна-

чений. Эти значения функция принимает либо в точках экстремума, лежащих внутри области D , ли-

бо в точках, лежащих на ее границе.

12

Алгоритм задачи отыскания наибольшего и наименьшего значений функции z f x; y в замк-

нутой ограниченной области D такой:

1)найти стационарные точки функции, отобрать те из них, которые лежат внутри области D , и

вычислить значения функции в этих точках, не исследуя их на экстремум;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D ;

3)отобрать из всех этих значений функции наибольшее и наименьшее.

Пример 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 2x3 4x2 y2 2xy в замкнутой

области, ограниченной линиями y x2 , y 4 .
Решение. Согласно указанному алгоритму: 1) Находим частные производные функции z :
zx 6x2 8x 2 y, zy		2 y 2x . Решая систему zx 0, zy						0 , найдем стационарные точки M1 0;	0
и M 2 1; 1 , из которых ни одна не лежит внутри заданной области (см. рис. 5).
2) Ищем наибольшее и наименьшее значения функции								z на границе области. Она состоит из двух
участков AOB и ACB , имеющих различные уравнения.
Поэтому вначале найдем наибольшее и наименьшее значения z на каждом из этих участков,
потом, сопоставляя их, отберем наибольшее и наименьшее значения z на всей границе.
			y
		4
A				C	B	y x2

0		1			x

Рис. 5.

На участке AOB имеем y x2 ,

z1 x x4 4x2 ,

где x 2; 2 . Используем правило нахож-

дения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке:

а)

z1 4x3 8x ; z1 0 при

x 0, z1 0 0 ; б)

z 2 z1 2 32 ;

в) сравнивая значения z1 во внут-

ренней стационарной точке

x 0

и на концах отрезка x1 2, x2

2 заключаем: z1 2 32 – наи-

большее, z1 0 0 – наименьшее значения z1 на этом отрезке.

На участке ACB имеем:

y 4 ,

z2 x 2x3

4x2

8x 16 , где x 2; 2 . Ищем наибольшее

и наименьшее значения функции z2 на отрезке 2;

2 :

а)

z 6x2 8x 8 ; решая уравнение

z

0 ,

находим

x

2

, x

2 ; только одна из этих точек,

2

2

1

3

2

x

2

лежит внутри отрезка 2;

2 ; z

2

16

22

.

1

3

2

27

3

13

б) z2 2 z2 2 32

		z2 2 32	2				22
	в)		– наибольшее, z2			16		– наименьшее значения	z2 на этом отрезке.
				3			27

Сопоставляя наибольшее и наименьшее значения функции z на участках AOB и ACB гра-

ницы, приходим к выводу: на всей границе AOBCA наибольшее значение функции z равно 32 (в

точках A и B ), а наименьшее – нулю (в точке O ).

3) так как внутри заданной области функция z не имеет стационарных точек, то ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе области:

zнб z 2; 4 32, zнм z 0; 0 0 .

9. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ».

Условия задач.

№1 – найти и построить область определения функции двух переменных. № 2 – найти и построить линии уровня функции двух переменных.

№ 3 – вычислить дифференциал первого порядка функции двух переменных в точке

P0 x0 ; y0 .

№ 4 – найти производную сложной функции.

№ 5 – вычислить производную по направлению

u

для функции u f x; y; z

точке A в на-

l

правлении, составляющем с осями координат углы , и

– для четных вариантов, и в

направлении вектора

AB – для нечетных вариантов.

№ 6 – найти и построить вектор градиент функции

z f x; y

в точке P0 .

№ 7 – исследовать на экстремум функцию.

Вариант 1.

x

1.

z

.

2.

z x2 2x y2 4 y 11

3.

z

x2 y3 6, P0 1;3

y

sin

x

ez , где

du

4.

u ln

x 3t 2 , y

t2 1, z tg2t , найти

dt

y

x

5.

u x2 y2

1

,

A 1;1;1 , B 0;1; 4 6. z arctg x y , P

3

;

3

7. z 1 (x2 y2 )2 / 3 .

y

z

0

2

2

Вариант 2.

. 2. z 2x2 2x 4 y2 4 y 2 3. z x2 2xy

5

y2 2x, P0 1; 2

1.

z

x 1

y 1

2

4.

z uv , где u sin2

x, v cos 2x , найти

dz

5.

u

x

y

z

, A 1; 2;1 ,

dx

y

z

x

2

3; 5

6.

z

y2 x2 , P

7. z ex y (x2 2 y2 ) .

0

Вариант 3.

14

1.

2. z

3.

y

, P0 4;3

4.

z ex2 y , где y x ,

найти

z

dz

z

x2 y2 4

z

и

x y

y

dx

x

u x y x ,

A 1; 2;1 ,

B 2;0;3

P 3; 4

5.

6.

z

x2

y2 ,

7.

z x4 y4

2x2 4xy 2 y2

0

Вариант 4.

1.

z ln

x

2. z exy

3.

z

x

,

P

1;1

y

y2

0

4.

z arc tg

y

, где x u sin v, y v cos u,

найти

z

и

z

u

v

x

3

x

5.

x

A 1;1;1 ,

6.

, P 1;1

7. z xy

u z

,

cos

, cos 0,

z arcsin

1 x2 y2

y

5

2

x y

0

Вариант 5.

1.

2. z ex y

3. z

x2 y2

, P 2;0

z

x2 y2 1

x2 y2

0

4.

u

z

, где

x t sin t, y v cost, z v ,

найти

u

и

u

t

v

x2 y2

5. u e

x2 y2 z2

, A 1; 2; 2 , B 4; 2;6

6. z x2 y2 , P 3; 2

7. z x2 xy y2 9 y 6x 35

0

Вариант 6.

1.

2. z

3.

x3

, P0

2;1

z

x2 y2 1

x2

y2

z arc tg

8 y

2

4.

w

u2 v2

, где u ln x2

y2

, v

x

y

,

найти

w

,

w

и

w

3

z

z

x

y

5

1

5.

u x

z

2

,

3

y , A 1;1;8 ,

cos 36 ,

cos 3

2

5;1

6.

z

x3 y2 1, P

7.

z y

y2

x 6 y

x

0

Вариант 7.

1.

z ln x 1 ln y 1

2.

3. z arc tg

y3

, P 3; 2

z 3

x2

2x y2

x y 2

y

0

sin z, где x et t2

z ln tgt , найти

du

4.

u arc tg

x

, y et3

,

y

dt

5.

u x2 2xy y3

1

, A 1; 2;1 , B 3;0; 2

6.

z x3 y2 ,

P0 1;1

7.

z x3 xy2

6xy

z

Вариант 8.

, P0 3; 4

1.

2. z x2 y2 3. z e x2 y2

z

y2 x 1

4.

z ucos v ,

найти

dz

где u

1 x2 , v

1 x2 ,

dx

5.

u xy yz, A 2;0;1 ,

6.

z

x

3

,

P0 1;1

7.

z xy(2 x y)

2

y

Вариант 9.

15

1.

2.

3.

z

x

2

y2

2;0

z

x y2 1

z 2x2

3y2

, P0

x2 y

4.

z ln2

x

, где y x , найти

z

и

dz

5.

u x3

2x

z

, A 1; 1;1 , B 3;3;6

y

x

dx

y

x

6.

z

3

x2

, P 1;1

7. z xy ln(x2 y2 )

y

0

Вариант 10.

1.

2. z x2 4x y2 2 y 3. z

x y

1;0

z

x2 y2

, P

x3

0

x

u

z

z

4.

z e

y

, где

x

u2 v2 ,

y

, найти

и

u

v

u2 v2

5.

u xz

z

y

,

A 1;3; 2 ,

,

x

z

2

2

P0 3; 2

6.

z 2

x2 y2 12,

7. z xy 50 / x 20 / y

Вариант 11.

x

	1.	z ln x2 2x y 2. z 3x2 6x 4 y2
	4.				x t cost, y	v	,
		u z3	x2 y3 , где					z
						t

5. u ln ex e y ez , A 1;1;1 , B 2; 2; 2

4 y

3. z e y , P0

6;6

v , найти

u

и

u

t

v

, P 4;1

1 x y

6.

z

x

7. z

y2

0

1 x2 y2

Вариант 12.

x

z ln y2 2 y x 2. z

3

, P0 0; 2

1.

y2 2x 3. z e y2

4.

w

, где

u arc tg x2 y2 , v

z3

, найти

w

,

w

и

w

u uv v

x

z

xy

y

5. u x3 3x2 3yz 2, A 1; 2; 4

,

,

6. z

y3

, P0 2; 2

7. z y

x

1 x

1 y

x2

2

2

Вариант 13.

y

x

2

z e

2 x

7 x , P0

0;1

1.

z arcsin

2. z 3 x2

3y

3.

y2

x

4.

x

cost, z 3

, найти

du

u ln cos z arcsin

, где x t sin t, y

t 2

t

dt

y

5.

u x2 3xz 2 yz, A 1;1;1 , B 1; 4;5

6.

z x

, P

2;8

7.

z e2 x (x y2 2 y)

xy

0

Вариант 14.

1.

z arccos

x

2. z ln x y

3.

z arc tg

y2

, P0 4; 2

y

x

4.

z u

1

, где u xtgx, v x arc tgx, найти

dz

5. u 3x3

4 yz

z

, A

0;1;3 ,

v

cos cos 0,

dx

y

2

16

6.

1; 4

7.

z (1 x)(1 y)(x y 1)

z y

xy , P0

Вариант 15.

1.

2.

z ln x

3.

xy

z 16 x

2

y

2

2

2 y

2

z cos

, P0

;

4

sin x

4.

z arcsin

x

, где x f y ,

найти

z

и

dz

dy

y

y

5. u

x

y

,

A 1;1; 2 , B 4;1;6

6.

z

x2

, P

4;1

7.

z 4 (x2 y2 )2 / 3

yz

xz

xy

0

Вариант 16.

1.

2. z

x 2

3. z ln x2 y2 , P0 1; 2

z 4 x2 y2 16

y 3

4.

y

v

v

, найти

z

z

z ln

arcsin

, где x

ue

,

y

и

x

e

u

u

v

5.

1

1

1

, A 1;1;1 ,

6.

z 8arctg

x2

, P0 2; 4

7.

z xy 2 / x 5 / y

u

x

y

z

2

y

Вариант 17.

1.

2.

y 1

3.

z ln x

, P0

3; 4

z y

z

x2 y2

cos x

x 1

4.

u ln

z

, где

x ttgt,

y v , z

v

, найти

u

и

u

sin t

v

3 x2 y2

t

5.

u

x

2

z

, A 2;1; 2 , B 2;5;5

6.

z arctg x2

, P0 1;1

7.

z (1 e y ) cos x ye y

y

2

y

y

x

Вариант 18.

1.

z x

2.

z 2x 7 y 3.

z ln x3 y3 ,

P0 1;7

sin y

2

1

w

w

w

4.

w ln

u

, где

u ln x2 y2 , v arcsin

, найти

,

и

3

y

z

v

xyz

x

2

,

A 1;1;1 ,

, cos

5.

u

x

z

23

2

5

2

y

2

, P0 2;1

6.

z

x y

7. z x2 y2

32ln(xy)

xy

Вариант 19.

1.

2. z

x

3. z

, P0 1; 2

z x

x2 y3

tgy

3y

4.

v arc tg

z

exy

,

где x t 2 ,

y

, z sin2 t , найти

dv

t

xy

z

dt

u

3

y

z

5xy

5.

x

,

A 4; 4; 4 , B 10; 1;3

6. z

, P0 3; 4

7.

z 3(x2 y2 ) x3 4 y

3 z

3 x

y

x2 y2

Вариант 20.

17

1.

2.

x

3.

2; 2

z x

z

z 3

x3

3y2

7, P0

ctgy

2 y

4.

z

v

, где

u cos2 x, v sin3 x , найти

dz

5. u

zx

zy

yx

,

A 4; 4; 4 ,

,

2

,

uv

dx

y

x

z

2

3

4

, P0 5; 4

6.

z 3ln

x2 y2

7.

z x2 y2 2ln x 18ln y

Вариант 21.

1

x

x

, P0 1;1

1.

z

2. z e

y

3.

z x3

3xy

2

x2 y2 9

y

z

z

dz

где x f y

, найти

,

и

5.

x

, A 1; 2;1 , B 1;0;0

4.

z e x2 2 xy ,

u 7x2

8 y3

xy

x

y

x

y

dy

6.

z

x4 3y2

, P0 1; 1

7. z x2 y2 xy 1/ x 1/ y

4xy

Вариант 22.

1

z

x

y

,

1.

z

2. z ln

y

3.

P0 1;1

ln

x y

x

y

x

4.

u ln

y

где x utgv, y vctgu , найти

z

и

z

sin

,

x

u

v

x

x3 , A 1; 2;1 ,

cos

3

,

cos

6

,

5.

u 3x 2xy

y

y

x

7

7

2

6.

z 3ln

3

x

, P0 1; 2

7. z x3

y3 9xy

y

Вариант 23.

1 x

y

1.

z arc sin

2.

z ln

2x

3. z

, P0 3; 4

y

x2 y2

1 y

4.

u

x2

, где

x v sin t,

y t cos t, z t , найти

u

и

u

t

v

3

y2 z2

x

y

5.

u 2x

3

3x

2

y

, A 1; 2; 2 , B 3;5;8 6.

z 16

xy

, P0

1;9

7.

z xy(9 x y)

y

x

z

7x2 y

Вариант 24.

2x 3y 1

1.

2.

x 1

3.

2; 2

z

z log2

z x x2 2 y2

4, P0

x y

y 1

4.

w

u2 v2

где u ln

x

, v

xy

найти

w w

w

3

sin uv ,

y

z3 ,

x , y и

z

5.

u

1

1

, A 1; 4; 1 ,

6. z ln 4

y2

, P0 1;1

7.

z (x x2 )( y y2 )

xy

z2

x

xy

2

Вариант 25.

1.

z

x 2 y 1

2. z y

3. z x ln

y

, P0 1;e

2x

x y

x

18

cos

y

dv

4.

xy

z

2

3

2 , найти

u ln

e

ze

, где x

t 1, y

t

1, z

t

dt

sin x

5.

u x y2

y 3

, A 1;1;8 , B 4;5;8

x

y

x

z

6.

z 20arctg

x

, P0 4; 4

7.

z xy 5 / x 6 / y

y

Вариант 26.

1.

x y

2.

3. z

x

, P0 2;1

z

z 2x

7 y

arc tg

2x 2 y 1

x y

dz

4.

z sin u cos v ,

где u tg2 x, v c tg3 x , найти

5. u 3

, A 1; 2;32 ,

,

cos

7

xyz

y

y

dx

2

3

6.

z

arctg

, P

1;1

7.

z x3

8y3 6xy 1

x

x

0

Вариант 27.

1. z

5. u

x 2 y

2. z

1

3. z arc tg

y

, P

3; 2 4.

z 2y3 x , где x f y , найти

z

,

z

и

dz

2x y

ex y

x y 0

x

y

dy

3

, A 1; 27;1

x

x

, P

xy

, B 1; 23; 4 6.

z

arctg

2; 2 7.

z x / y 1/ x y

z

y2

y

0

Вариант 28.

1. z 4	x 2 y	2. z		1	3. z x cos2 y, P	1;
				x 2 y
	7x		3		0		4

4.

x u cos2 v, y v sin2 u ,

найти

z

z

z ln x2

y2 , где

и

u

v

3

,

,

cos

3

,

5.

u

xz

A 2;1; 4 ,

y2

2

5

2

6.

z 20 arcsin

x2

, P0 1; 2

7.

z (1 x y)(1 x2 y2 ) 1/ 2

y

Вариант 29.

1.

z arc sin

x

+arcsin

y

2. z

1

2 xy 3.

z y

2 sin2 x, P

; 1

y

x

0

4

5

4.

u

u2 v2

, где

x t cos t, y v sin t, z v ,

найти

u

и

u

ln z

t

v

5.

x2

y2

1

, A 1;1; 1 , B 0;3;1

6.

x2

P0 2;1 7.

z

(x y 1)

2

u

z ln

,

3

y

x

z

y

Вариант 30.

1 x

1 x2 y

3. z ln

y , P0

4;8

1.

z arccos

2. z

x 3

1 2 y

7

4.

1

u arcsin x2 y2 , v arccos

, найти

w

w

w

w

, где

y2

z2

,

и

x

y

z

u2 v2

5.

u

y

x

xy

, A 1;1; 1 ,

cos

6

,

cos

3

,

x

y

z

7

7

2

19

6. z 6 ln			x		, P0 1; 2	7. z xy 1 4x2 36 y2
	3		y
						СОДЕРЖАНИЕ.
1.	Область определения, линии и поверхности уровня						2
2.	Частные производные и дифференциал первого порядка						3
3.	Производная сложной функции						5
4.	Производная функции, заданной неявно						6
5.	Производная по направлению и градиент скалярного поля						8
6.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности						10
7.	Экстремум функции нескольких переменных						11
8. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области							12
9.	Расчетно-графическая работа по теме
	«Исследование функций двух переменных»						14

20