2. Сложные ставки ссудных процентов

Определение 2.1. Сложными ставками ссудных процентов называются такие ставки, которые после очередного интервала начисления не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

2.1. Наращение по сложной процентной ставке (FV по r_c). Случай нецелого периода начисления. Случай переменной процентной ставки. Непрерывный способ начисления процентов. Случай начисления процентов m раз в году. Финансовые функции в ППП EXCEL (БС, БЗРАСПИС)

Наращение по сложной процентной ставке (FV по r_c). Сложные процентные ставки применяются в среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях.

Введем обозначение:

r_c– относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов.

Пусть интервал начисления составляет один год, т.е. n=1, тогда

Через год это же выражение будет применяться уже к сумме , то есть

,

,

…………

. (2.1.1)

Сравнивая эту формулу с формулой для простых процентов, можно увидеть, что чем большеn, тем больше величина наращенной суммы для сложных процентов.

Случай нецелого периода начисления. Если срок ссуды n в годах не совпадает с целым числом, то используется следующая формула:

,(2.1.2)

где – целое число лет,– оставшаяся дробная часть года, тогда.

На практике предпочитают пользоваться формулой (2.1.1) с нецелыми показателями степени, но при этом получается приблизительный результат, причем погрешность будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.

Пример 1. Первоначальная сумма долга равна 50 млн денежных единиц. Определить наращенную сумму через 2.5 года по ставке r_c=25% годовых, используя формулы (2.1.1) и (2.1.2).

Решение. Используя формулу (2.1.1), получим

FV=50 000 000 ∙ (1+0, 25)^{2, 5} = 87 346 390 (ден. ед.).Используя формулу (2.1.2), получим FV=50 000 000 ∙ (1+0,25)² (1+0, 5∙0,25) = 87 890 625 (ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма, рассчитанная по формуле (2.1.1), составит 87 346 390 денежных единиц; наращенная сумма, рассчитанная по формуле (2.1.2), составит 87 890 625 денежных единиц.

Случай переменной процентной ставки. Предположим теперь, что на различных интервалах начисления применяются различные процентные ставки. Обозначим интервалы начисления через n₁, n₂,…., n_N и соответствующие им годовые процентные ставки обозначим через r₁, r₂,…., r_Nтогда

,

,

…………………….

. (2.1.3)

Непрерывный способ начисления процентов. Если проценты начисляются ежедневно, ежеквартально, ежемесячно и т.д., то такое начисление называется дискретным.

Кроме этого существует непрерывный способ начисления процентов:

. (2.1.4)

Здесь множитель наращения, или коэффициент наращения, имеет вид

(для простой процентной ставки коэффициент наращения

(1+rn)=k).

Для вывода формулы (2.1.4) используют второй замечательный предел:

, примененный к формуле наращенной суммы из следующего пункта, а именно

.

Случай начисления процентов m раз в году. Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году.

Определение 2.1.1. Если сложные проценты начисляются несколько раз в году, то в этом случае используется номинальная годовая процентная ставка обозначаемая используется символом j.

Пусть m – число интервалов начисления, n – общее число лет, тогда проценты за каждый интервал начисления будут начисляться по ставке , а наращенная сумма за весь период начисления составит

, (2.1.5)

Где mn – общее число периодов начисления процентов за весь срок проведения финансовой операции.

Определение 2.1.2. Эффективной процентной ставкой называется ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке .

Выведем формулу для нахождения величины эффективной ставки. Из уравнения

следует

,

тогда

,

,

Последняя формула служит для вычисления величины эффективной ставки.

Пример 1. Каков размер эффективной ставки r_c, если номинальная процентная ставка j = 25 % годовых при ежемесячном начислении процентов.

Решение.r_c=(1+0,25/12)¹² – 1 = 0,280732 ≈ 28%.

Замечание: Для участвующих в сделке сторон безразлично применять ли 25 % ставку при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28 %.

Ответ. Размер эффективной ставки составит 28 % годовых.

Финансовые функции в ППП EXCEL¹. Для вычисления наращенной суммы для сложной процентной ставки (постоянной) можно применять следующую функцию ППП EXCEL:

БС(ставка; число_периодов; выплата; нз; тип).

Здесь используются аргументыставка, число_периодов(см. табл.1приложения). В этом случае на рабочем листе ППП EXCEL формула примет вид:

=БС(ставка; число_периодов; ; нз).

Пример 2. Рассчитайте, какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. денежных единиц размещены на 33 года под 13,5 % годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

Решение. Для расчета применяется формула (2.1.1). В условии задачи указан годовой процент и число лет. Если проценты начисляются несколько раз в год, то необходимо рассчитать общее количество периодов начисления процентов и ставку по табл. 2приложения, в которой приводятся расчеты для наиболее распространенных методов начисления процентов в году.

Таким образом, при полугодовом начислении процента общее число периодов начисления равно 33 ∙2 (аргумент число_периодов), а процент за период начисления равен (аргументставка). По условию аргумент нз = -27. Это отрицательное число, означающее вложение денег. Используя функцию БС, получим БС(;33∙2; ;–27) = 2012,07 (тыс. ден. ед.).

Проведем для сравнения расчет по формуле (3.1.1):

FV = 27· (1+0,135/2) ^{33· 2} = 2 012,07 (тыс. ден. ед.).

Ответ. По истечении 33 лет на счете окажется 2 012,07 тысячи денежных единиц.

Если процентная ставка меняется с течением времени, то для расчета будущего значения инвестиции (единой суммы) после начисления сложных процентов можно использовать функцию ППП EXCEL БЗРАСПИС:

БЗРАСПИС(инвестиция;{ставка1; ставка2; ...; ставкаN}).

Если применяется массив процентных ставок-{ставка1 ставка2;…; ставкаN} , то ставки необходимо вводить не в виде процентов, а как числа, например, {0,1; 0,15; 0,05}. Однако проще записать вместо массива ставок соответствующий интервал ячеек, содержащих значения переменных процентных ставок.

Пример 3. По облигации номиналом 100 тыс. денежных единиц, выпущенной на 6 лет, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первый год– 10 %, в два последующих года – по 20 %, в оставшиеся три года– 25 %. Рассчитаем будущую (наращенную) стоимость облигации по сложной процентной ставке.

Решение. Пусть в ячейки А1:А6 введены числа 10 %, 20 %, 20 %, 25 %, 25 %, 25 % соответственно. Тогда наращенная стоимость облигации равна:

БЗРАСПИС(100; А1:А6) = 309,38 (тыс. ден. ед.).

При расчете по формуле (3.1.3) получим:

100∙(1+0,1)∙(1+0,2)∙(1+0,2)∙(1+0,25)∙(1+ 0,25)∙(1+ 0,25)=309,38 (тыс. ден. ед.)

Ответ. Будущая стоимость облигации по сложной процентной ставке составит 309,38 тысячи денежных единиц.