Егоров В.А. Статьи / Статья 2 (Егоров В.А.)

Методы обработки статистических данных и ошибки в их применении.

Егоров В.А., МАДИ

При проведении различных научных исследований, анализе статистике для принятия правильных управленческих решений редко реализуются идеальные условия для сбора данных. Неправильный учет условий, при которых проводится сбор информации, может снизить точность результата или привести к некорректным выводам. Пусть мы наблюдаем (достаточное) количество агрегатов, узлов (далее блоков), состоящих из отдельных деталей. Стоит задача - определить надежность деталей, составляющих блок, выявить "узкие места". Обычно принимают среднюю наработку до отказа детали как основную характеристику ее надежности. Ранжирование деталей по надежности проводится через соотношение их наработок до отказа.

Решение задачи существенно зависит от того, как проводится сбор данных, и какая принята система поддержания работоспособности блока. В том случае, когда в ходе ремонта блока производится замена только одной детали, отказ которой привел к необходимости проводить ремонт (стратегия 1), может быть принята модель формирования потока отказа для каждого элемента независимо от остальных. (Конечно, замена одной (отказавшей) из деталей на новую может влиять, причем двояко, на момент достижения предельного состояния и выхода из строя некоторых других деталей - с одной стороны, уменьшение остатка ресурса за счет приработки, с другой стороны - приведение в нормативное состояние всех допусков, затяжек и т.д. - снижение нагрузки и темпа изнашивания и т.п. Однако в рамках данного доклада это влияние не принимается во внимание для высвечивания другого источника возможных ошибок).

В том случае, когда при устранении неисправности проводится замена не только той детали, которая непосредственно вызвала отказ блока, но и некоторых других (предельный случай - замены всего блока(стратегия 2), - и будет рассматриваться далее), следование модели, принятой для стратегии 1, может привести к ошибкам. Соотношение надежности для двух деталей как отношение их средних наработок на отказ , полученных в ходе сбора данных о проведенных в целом по блоку ремонтах и о причинах отказа, может быть не верным. Действительно, как будет показано далее, при такой форме проведения ремонтов может оказаться, что поток отказов блока по причине выхода из строя детали, имеющей бóльшую среднюю наработку на отказ, может быть больше, чем у детали, имеющей меньшую среднюю наработку на отказ, - в зависимости от характеристик их законов распределения вероятности наработки на отказ (далее - ЗРВ), реализующихся при 1-й стратегии восстановления работоспособности блока.

Примем, как сказано выше, случай, когда блок состоит из 2-х элементов:

а) - базовая деталь;

б) - "дополнительная" деталь, в зависимости от изменения характеристик закона распределения вероятностей наработки до отказа которой и проводились расчеты.

/За базовую деталь при реальном анализе может быть принят весь блок за вычетом детали (б)/.

Расчеты, результаты которых даны далее, проводились при условии 2-й стратегии /при отказе любой из деталей проводится замена всего блока /. Для базовой детали (а) принят нормальный ЗРВ и неизменные, нормировочные значения:

математическое ожидание М_а =1;

среднеквадратическое отклонение σ_а =0.3.

Для детали (б) значения М_б и σ_б варьировались в небольших пределах от 0,4 до 2,4 по отношению к соответственно М_а и σ_а / М_i , σ_i здесь и далее – при первой стратегии восстановления/. При этом в расчетах рассматривались два типа ЗРВ - нормальный ЗРВ и ЗРВ Вейбулла-Гнеденко. (рис. 1а,б). В дальнейшем при упоминании ЗРВ Вейбулла имеется в виду, что (для рассматриваемого примера) это касается только детали (б).

Рис. 1. Пример соотношения плотностей распределения вероятностей пробега до отказа деталей (а) и (б) для двух нормальных ЗРВ / I / и для сочетания нормальный ЗРВ + ЗРВ Вейбулла-Гнеденко / II /

Для принятой дисциплины восстановления работоспособности блока вероятность того, что отказ блока произойдет из-за отказа детали "j" равна:

где:

f_j - плотность распределения для ЗРВ по 'j'-й детали,

R_o - функция безотказности для остальной части блока,

М_z, σ_z - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение для детали 'z'.

Ω - область определения функций f_j и R_o .

Соответственно реализуемая наработка на отказ для детали "j", рассчитываемая как среднее по тем случаям, когда отказ блока происходит из-за отказа детали "j", равна:

Результаты проведенных расчетов даны на рис. 2 - рис.10. Представленные расчетные функции даны для стратегии восстановления №2, если другое не оговорено в подрисуночных надписях. Здесь показаны поведение описательных характеристик потоков отказов для деталей (а) и (б) /соответственно поверхности (α) и (β) с индексами W – Вейбулла ЗРВ и N – нормальный ЗРВ/ в зависимости от изменения М_б и σ_б. Видно, что в случае стратегии 2 при изменении параметров, характеризующих ЗРВ для детали (б), меняются как P_б, L_б, так и P_a и L_a . (рис. 2-4). Следует отметить, что пересечение поверхностей (α) и (β) , т.е.:

- линия, при которой равны вероятности отказов блока по причинам (а) и (б), т.е. интенсивности потоков отказов блока, вызванных этими причинами /рис. 2/,

- линия, на которой равны реализуемые средние наработки на отказ соответственно деталей (а) и (б) /рис. 3а, 3б /,

проходит отнюдь не по прямой M_b/M_a = 1. Это приводит к случаям, когда деталь с меньшей (по отношению к другой детали) средней наработкой на отказ при восстановлении блока по стратегии 2 будет иметь реализуемую среднюю наработку бóльшую, чем у сравниваемой детали - если их характеристики рассчитывать как среднеарифметическое по всем случаям отказа блока по причине неисправности той или иной детали. Разница между потоками отказов блока, вызванных отказами деталей (а) и (б), формирующимися при стратегиях 1 и 2, еще существеннее (рис. 6.), чем между реализующимися средними наработками на отказ по причинам (а) и (б). (рис. 5,6) При этом влияние типа ЗРВ для детали (б) в рассматриваемом примере значительно менее проявляется на характеристиках наработки на отказ для всего блока в целом (рис. 4), чем в поведении функций, связанных с отдельными деталями. Различные сочетания дополнительных описательных характеристик надежности для рассматриваемого примера показаны на рис.7 -10. В подрисуночных надписях даются описания представленных функций и особенности сравнения их между собой.

Приведенный выше подход к решению задачи демонстрирует причины возникновения ошибок и позволяет просчитать их масштаб. Однако использование подобной модели позволяет также решать и обратную задачу - нахождение параметров надежности для каждой из 'n' деталей, составляющих блок, имея для них реализованные наработки до отказа L_j по подобной специфической выборке и вероятности P_j отказа блока из-за детали 'j'.

Итак, пусть есть два процесса отказа:

• искомая причина отказа, с плотностью распределения вероятностей наработки но отказ f₁ и интегральной функцией безотказной работы

R₁ = 1-∫f₁(x)dx;

• остальные причины отказа, вероятностные характеристики которых назовем соответственно f₂ и R₂.

Суммарный процесс / когда отказы происходят (независимо) как по 1-й причине, так и по второй (при этом, что главное, как и написано выше, после отказа любого элемента происходит ремонт(замена) всего блока) / имеет вероятность безотказной работы:

R_Σ = R₁*R₂.

Эту функцию (т.е. функцию для всех отказов в целом) мы имеем из собранных статистических данных.

Плотность вероятности отказа для отказов по 1-й причине при работе всех отказов будет:

где М - множество, на котором определены функции f1 и f2,

f_1Σ – получаем при обработке собранных статистических данных.

Здесь представляяет из себя долю отказов 1-го типа в суммарном потоке, и эту величину S мы также знаем из эксперимента. Тогда получаем систему из 2х уравнений:

R₁(x) * R₂(x) = R_Σ(x)

-R₁'(x) *R₂(x)=f_1Σ (x)* S

откуда d(Ln(R₁(x)))/dx = -f_1Σ (x)* S/ R_Σ(x) -> , где С=1, т.к. R1(0)=1, а интегрирование для нашего случая идет от 0 до x, и известны и f_1Σ (x), и S, и R_Σ(x). (конечно, при достаточной статистике). Таким образом, собрав данные по отказам блока в целом с разделением по типам отказа, мы можем построить индивидуальную функцию вероятности безотказной работы для каждого из составляющих элементов.

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

σ_b/σ_а

σ_b/σ_а

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

Рис. 3а. Математическое ожидание пробега до отказа блока в тех случаях, когда причиной был отказ детали (а) и (б). Нормальный ЗРВ.

σ_b/σ_а

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

Рис. 3б. Математическое ожидание пробега до отказа блока в тех случаях, когда причиной был отказ детали (а) и (б), - ЗРВ Вейбулла для (б).

M_b/M_a

σ_b/σ_а

Рис. 4. Математическое ожидание пробега до отказа блока в целом – ЗРВ Вейбулла (для Нормального ЗРВ – практически тот же самый вид).

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

I II

σ_b/σ_а

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

I II

Рис. 5. Отношение реализованных средних пробегов до отказа:

1- L_a /деталь (а)/ к L_б /деталь (б)/.

2- L_б /деталь (б)/ к L_a /деталь (а)/.

- нормальный (I) и Вейбулла (II)

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

Рис. 6. Соотношение 2-х типов расчетных функций:

1 - Отношение вероятности отказа из-за детали (б) к вероятности отказа из-за детали (а) нормальный ЗРВ, - показывает соотношение соответсвующих потоков отказов

2 - Отношение реализованных среднего пробега до отказа детали (б) к среднему пробегу до отказа детали (а)

I - нормальный ЗРВ

II – Вейбулла ЗРВ

M_b/M_a

σ_b/σ_а

σ_b/σ_а

M_b/M_a

Рис. 7. Соотношение 2-х типов расчетных функций:

1 - Отношение вероятности отказа из-за детали (б) к вероятности отказа из-за детали (а)

2 - Отношение реализованных среднего пробега до отказа детали (а) к среднему пробегу до отказа детали (б)

I - нормальный ЗРВ

II – Вейбулла ЗРВ

σ_b/σ_а

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

σ_b/σ_а

M_b/M_a

Рис. 8-а. Сравнительное поведение нескольких расчетных функций для нормального ЗРВ

σ_b/σ_а

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

M_b/M_a

M_b/M_a

σ_b/σ_а

Рис. 8-б. Сравнительное поведение /аналогично рис. 8а / нескольких расчетных функций для ЗРВ Вейбулла

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

Рис 9. Соотношение 2-х типов расчетных функций:

1- Матожидание пробега до отказа блока в тех случаях, когда причиной был отказ детали (б) /реализованные средние пробеги до отказа по группе (б), 2-я стратегия восстановления/ ;

2- Матожидание пробега до отказа детали (б) в 'чистом' случае, т.е. для стратегии замены 1, когда заменяется не весь блок сразу, а только эта деталь.

I - нормальный ЗРВ

II – Вейбулла ЗРВ

σ_b/σ_а

M_b/M_a

σ_b/σ_а

M_b/M_a

Рис. 10. Соотношение 4-х типов расчетных функций:

1 - Отношение реализованных среднего пробега до отказа детали (а) к среднему пробегу до отказа детали (б). /реализованные средние пробеги до отказа по обоим группам отказов/ Сравниваем с функцией 2. При первой стратегии их произведение давало бы константу.

2 - Матожидание пробега до отказа детали (б) в 'чистом' случае, т.е. для стратегии замены 1, когда заменяется не весь блок сразу, а только эта деталь. Является в то же время отношением М(б) к М(а) в 'чистом' случае. Сравниваем с функцией 1.

3 - Отношение вероятности отказа из-за детали (б) к вероятности отказа из-за детали (а). Характеризует разделение потока отказов блока по причинам (б) и(а). Сравниваем с функцией 4 ;

4 - Величина, обратная матожиданию пробега до отказа детали (б) в 'чистом' случае, т.е. для стратегии замены 1. Характеризует поток отказов по детали (б) в целом и по отношению к потоку отказов по базовой детали (а). Сравниваем с функцией 3.

I - нормальный ЗРВ, II – Вейбулла ЗРВ