МП-12_Николаев_Олег_Практ_3_2
.docxОтчет к упражнению 1
Создать M-функцию, которая строит в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. При построении этой пары графиков использовать разные цвета и маркеры. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и число рассматриваемых членов. В качестве выходных параметров вывести значения . Применить созданную М-функцию для исследования следующих рядов:
1) ; 2) ; 3) .
Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.
М-функция:
function [s1,s2,s3,s4,s5]=sumplot(an,n0)
n=1:1:n0;
y=subs(an,n);
grid on;hold on;axis equal;
plot(n,y);
s=subs(an,1);
cs=s;
for n=2:1:n0;
cs=cs+subs(an,n);
s=[s;cs];
end
n=1:1:n0;
plot(n,s(n),'--r');
s1=s(n0-4);
s2=s(n0-3);
s3=s(n0-2);
s4=s(n0-1);
s5=s(n0);
end
Проверка на примерах:
1)
[s1,s2,s3,s4,s5]=sumplot('1/n',50)
s1 =
4.4167
s2 =
4.4380
s3 =
4.4588
s4 =
4.4792
s5 =
4.4992
Вывод: ряд расходится.
2) ;
[s1,s2,s3,s4,s5]=sumplot('1/sqrt(n)',50)
s1 =
12.1779
s2 =
12.3238
s3 =
12.4681
s4 =
12.6110
s5 =
12.7524
Вывод: ряд расходится.
3) .
[s1,s2,s3,s4,s5]=sumplot('1/n^2',100)
s1 =
1.6346
s2 =
1.6347
s3 =
1.6348
s4 =
1.6349
s5 =
1.6350
Вывод: ряд сходится.
n=1:1:10000000;
s=sum(1./n.^2)
s =
1.6449
Отчет к упражнению 2
Установить, расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости (по Вашему желанию: «вручную» или используя MATLAB):
а)
sumplot('((n+1)^(1/3)-1)/n',50)
Вывод: необходимое условие выполняется, но ряд расходится.
б)
sumplot('((n+3)/(n+1))^(2*n-1)',10)
Вывод: необходимое условие не выполняется, поэтому ряд расходится.
Отчет к упражнению 3
Приведите два примера расходящихся числовых рядов (отличные от рассмотренных в упр. 2), общий член которых стремится к нулю. Используя M-функцию из упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.
sumplot('2/n',50);
sumplot('2/n^(1/5)',50)
Отчет к упражнению 4
а) Пусть ряд сходится, расходится. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.
Если есть сходящийся и расходящийся ряды, то их сумма расходится (иначе получили бы: сх + расх = сх, расх = сх – сх = сх, противоречие):
sumplot('1/n',50);
sumplot('1/n^2',50);
sumplot('1/n+1/n^2',50);
б) Пусть ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.
Про сумму расходящихся рядов ничего сказать нельзя (поскольку, если расх+расх=сх, то расх=сх-расх=расх, противоречия нет, поэтому может быть как расх+расх=расх, так и расх+расх=сх):
РАСХ+РАСХ=РАСХ
sumplot('1/n+1/n^(1/4)',50);
РАСХ+РАСХ=СХ
sumplot('(-1/n)',100);
sumplot('1/n+(-1/n)',100);
Отчет к упражнению 5
Опираясь на признаки сходимости, доказать:
а) ряд расходится
б) ряд сходится
в) ряд расходится
г) ряд сходится
Отчет к упражнению 6
Пусть к ряду применимо утверждение об оценке ряда. Создайте M-функцию, которая оценивает число членов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции используйте формулу общего члена последовательности и точность . Применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:
Указание. Для ряда а) имеем: - при увеличении монотонно уменьшается от до . Для ряда б): - убывает от до нуля. Наша М-функция может содержать два цикла. В первом цикле, начиная с , вычисляем и до тех пор пока выполняется неравенство . Во втором цикле продолжаем вычислять и , а также . Второй цикл заканчивается при выполнении условия . Выходными параметрами М-функции должны быть и .
function [n,s]=sumvalue(an,eps)
n=1;
q=an(2)/an(1);
s=an(1);
while(q>=1)
n=n+1;
s=s+an(n);
q=an(n+1)/an(n);
end
r=an(n+1)/(1-q);
while(r>eps)
n=n+1;
q=an(n+1)/an(n);
s=s+an(n);
r=an(n+1)/(1-q);
end
end
а)
[n,s]=sumvalue(@(n)n/2^n,0.001)
n =
14
s =
1.9990
б)
[n,s]=sumvalue(@(n)1/factorial(n),0.001)
n =
6
s =
1.7181
Отчет к упражнению 7
Создать M-функцию, которая оценивает число членов знакочередующихся рядов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и точность .
function [n,s]=sumsign(an,eps)
n=1;
r=abs(an(n+1));
s=an(1);
while(r>eps)
n=n+1;
s=s+an(n);
r=abs(an(n+1));
end
end
Для следующих рядов доказать сходимость и применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:
а)
[n,s]=sumsign(@(n)((-1)^(n-1))*1/n,0.001)
n =
999
s =
0.6936
б)
[n,s]=sumsign(@(n)((-1)^(n-1))*1/n^2,0.001)
n =
31
s =
0.8230
Отчет к упражнению 1C
Для рядов 1) ; 2) ; 3) выполнить следующие задания:
а) используя M-функцию, созданную в процессе выполнения упр. 1, построить в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.
1)
sumplot('0.3^n',10);
Ряд сходится:
n=1:1:1000;
s=sum(0.3.^n)
s =
0.4286
2)
sumplot('1.5^n',10);
Ряд расходится.
3)
sumplot('1/(n^2+2*n)',50);
Ряд сходится:
n=1:1:1000000;
s=sum(1./(n.^2+2*n))
s =
0.7500
б) Доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы.
1)
2)
3)
Отчет к упражнению 2C
Опираясь на признаки сходимости, доказать:
а) ряд сходится
б) ряд сходится
в) ряд сходится
г) расходится