МП-29_БДЗ_1_2015

21МП-29 Пылкова Анастасия

1На семинаре по математике преподаватель решил узнать, кто из 28 студентов решил задачи А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: задачу А решили 18 студентов, В – 16, С – 13. Хотя бы одну из задач А или В решили 24 студента, А или С – 22, В или С – 23. Все три задачи решили 4 студента. Хотя бы одну задачу решил каждый студент. Проанализировав данные опроса, преподаватель понял, что не все студенты были с ним откровенны. Как он смог это понять?

2	Даны пять плоскостей в пространстве: 1 : x 2 y 3z 4 0 , 2 : 4x 3y 4z 1 0 , 3 : 3x 4 y 5z 3 0 ,
	4 : 2x 2 y z 3 0 , 5 : 4x 3y 5 0 . На множестве	M этих плоскостей определено бинарное отношение :
	i j (расстояние от начала координат до плоскости i	не превышает расстояния от начала координат до плос-
	кости j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным,
	антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного по-
	рядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентно-
	сти.
3а	Сколько различных экзаменационных комиссий из пяти человек можно составить, если на кафедре работают двадцать
	два преподавателя?
3б	В домашнем детском саду 3 игровые комнаты. Дети могут играть в любой из них. Сколькими способами могут рас-
	пределиться по игровым комнатам 12 детей, если имеет значение число детей, играющих в каждой из комнат, и не
	имеет значение, какой ребенок в какой комнате играет?
3в	На перекрестке имеется 5 светофоров? Сколько может быть различных состояний этой системы светофоров, если ка-
	ждый светофор (независимо от остальных) имеет три возможных состояния (горит зеленый, горит желтый, горит
	красный)?
3г	Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из семи языков:
	русского, английского, немецкого, испанского, финского, итальянского, французского на любой другой из этих семи
	языков?

4На танцевальном вечере присутствуют 10 девушек и 14 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них четыре пары для танцев?

5В репертуаре театра 5 трагедий и 9 комедий. Директору театра нужно составить график гастролей на 14 дней. Он хочет сделать его так, чтобы спектакли не повторялись и никакие трагедии не шли подряд. Сколькими способами директор может составить график гастролей?

6Имеется 10 различных ящиков и 6 неразличимых белых шаров и 6 неразличимых черных шаров. Сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом оказался хотя бы один шар?

22МП-29 Соколов Максим

1Среди студентов, сдавших сессию, оценку «удовлетворительно» получили: по математике – 60 студентов, по физике – 57, по информатике – 53, по математике или физике – 90, по математике или информатике – 84, по физике или информатике – 89, по всем трем предметам – 11. Сколько среди студентов, сдавших цессию, тех, кто получил только одну тройку?

2	Даны пять геометрических векторов, заданных			координатами в некотором декартовом базисе: a1 3,3, 1 ,
	a2 2, 5,0 ,	a3 2,1,3 , a4	0,0, 2 , a5	1,4,1 . На множестве M этих векторов определено бинарное
	отношение :	ai a j (вектор ai	образует тупой угол ( 90 180 ) с вектором a j ). Найти мощность этого
	бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитив-
	ным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение
	является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.
3а	Трое ребят собрали с яблони 37 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считать одина-
	ковыми (т.е. нас интересует сколько яблок получит каждый, а не какие именно)?
3б	Сколько существует способов занять места в аудитории, имеющей восемнадцать мест, группой учащихся из пяти че-
	ловек, если важно кто какое место занимает?
3в	Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы слова «страницы» так, чтобы гласные буквы шли в алфавитном
	порядке, и согласные буквы шли в алфавитном порядке?
3г	Сколькими способами можно разместить 12 перенумерованных бильярдных шаров в 6 перенумерованных лузах?

4Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 подгруппы, причем в первую подгруппу должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать?

5Во время массовых гуляний по случаю дня города на площади поставили 4 палатки. В первой из них угощали кашей, во второй – блинами, в третьей – пирогами, в четвертой – квасом. Сколькими способами 24 человека могут выстроиться в очередях за угощением, если каждый человек может стоять в очереди только в одну палатку и не исключается ситуация, когда в некоторые палатки никто попасть не хочет?

6На первом этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт зашло 9 пассажиров. Известно, что при движении наверх лифт останавливался трижды, и ни на одном этаже не вышло более четырех пассажиров. Сколькими способами пассажиры могли распределиться между этажами, если важно не только число пассажиров, вышедших на том или ином этаже, но и кто на каком этаже вышел?

11

23МП-29 Степанов Александр

1На ужине в ресторане теплохода присутствовал 41 турист. Каждый турист на десерт заказал вазочку с тремя шариками мороженого. По желанию туриста в вазочку могли положить мороженое одного, двух или трех видов (ванильное, фисташковое, клубничное). Известно, что на десерт 20 человек заказали хотя бы один шарик ванильного мороженого, 23 – фисташкового. Девять человек заказали ванильное и фисташковое мороженое, причем шестеро из них заказали также шарик клубничного мороженого. Часть туристов заказали все три шарика одного вида: в частности 6 человек – ванильного, 10 – фисташкового. Сколько туристов заказали хотя бы один шарик клубничного мороженого?

2	Заданы шесть линейных однородных дифференциальных уравнений: (1) : y y 2 y 0 , (2) : y y 6 y 0 , (3) : y 3y 0 ,
	(4) : y y 0 ,	(5) : y y 0 , (6) : y(4) 0 . На множестве M этих уравнений определено бинарное отношение : (i) ( j)
	(уравнение (i)	имеет общие ненулевые частные решения с уравнением ( j) ). Найти мощность этого бинарного отношения, опре-
	делить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отно-
	шением порядка, отношением линейного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать раз-
	биение на классы эквивалентности.
3а	Сколькими способами 12 сторублевых купюр можно разложить по пяти различным конвертам?
3б	В книжном магазине продается 11 книг из серии «Приключенческая литература». Сколькими способами Петр Сергеевич может
	выбрать из них четыре книги для подарка племяннику?
3в	В учебнике по математическому анализу в параграфе «Правила дифференцирования» приведено 14 номеров. Сколькими способами
	преподаватель может составить план урока, если он считает необходимым решить вместе с учащимися 8 номеров из этого пара-
	графа?
3г	Аудитория освещается тремя рядами ламп, по 6 одинаковых ламп в ряду. В каждом ряду перегорело ровно по одной лампе. Сколь-
	ко вариантов освещения при этом могло возникнуть?

4Сколько различных девятизначных чисел можно написать, пользуясь лишь цифрами 2, 3, 4, 5, если цифра 2 используется в каждом числе ровно три раза?

5Отпраздновать совершеннолетие Ивана собрались 2 бабушки, 4 тетушки и 3 двоюродные сестры. Собравшиеся захотели сфотографироваться, стоя в один ряд, но так, чтобы представители одного поколения стояли рядом (на Ивана ограничение не распространяется, он может занять любое место в ряду). Сколькими способами они смогут это сделать?

6Перед началом экзаменационной сессии между четырьмя преподавателями кафедры происходило распределение нагрузки: 5-и экзаменов по математическому анализу, 4-х экзаменов по алгебре и 6-х экзаменов по дискретной математике. Каждый преподаватель мог принимать любой из этих экзаменов, но обязан был принимать хотя бы один. Сколькими способами преподаватели могут распределить между собой нагрузку, если экзамены по одному предмету для них одинаковы? (Пример распределения нагрузки: Иванов принимает 2 экзамена по математическому анализу, 1 по алгебре и 1 по дискретной математике, Петров – 2 экзамена по математическому анализу, 3 по алгебре и 2 по дискретной математике, Сидоров – 1 экзамен по математическому анализу, Кузнецов – 3 экзамена по дискретной математике.)

24МП-29 Шевцова Дарья

1Ста прохожим был задан вопрос: читали ли Вы в этом году научную или научно-популярную литературу по информатике, экономике, естественным наукам и философии?». По результатам опроса выяснилось, что 16 человек читали книги по информатике, 15 – по экономике, 16 – по естественным наукам, 4 – по философии. 7 опрошенных читали книги по информатике и экономике, 6 – по экономике и естественным наукам, 10 – по информатике и естественным наукам. 68 человек вообще не читали книг по этим отраслям знаний, а те, кто читал книги по философии, не читали других научных книг. Сколько человек из опрошенных читали литературу ровно по двум упомянутым отраслям?

2	На множестве M комплексных корней уравнения z6 64 0 определено бинарное отношение : z z	j	(мнимая часть
	i
	числа zi равна мнимой части числа z j ). Найти мощность этого бинарного отношения, определить, является ли оно рефлексив-
	ным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением эквивалентности, отношением порядка, отношением линей-
	ного порядка. Если бинарное отношение является отношением эквивалентности, указать разбиение на классы эквивалентности.
3а	Сколькими существует различных треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 5,6,7,8,9?
3б	Семен Семенович ходит на работу пешком. У него есть шесть любимых маршрутов. Каждое утро он задается вопросом: «По како-
	му маршруту пойти?». Как-то в воскресенье Семен Семенович решил в ближайшую неделю при выборе маршрутов довериться
	случаю. Он решил занумеровать маршруты, и каждое утро с понедельника по пятницу перед выходом из дома бросать кубик и идти
	на работу по маршруту, номер которого выпадет. Если действовать по плану Семен Семеновича, сколько вариантов недельных
	перемещений на работу можно получить?
3в	Доценту N предстоит принять коллоквиум у 7 групп в период с первого по четырнадцатое ноября. Он готов принимать коллоквиум
	в любые дни недели за исключением воскресений. Сколько расписаний приема коллоквиума он может составить, если для каждой
	группы ему нужно выделить один день, причем для каждой группы свой?
3г	На окружности отмечено 10 точек. Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках?

4Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были четными?

5Сколькими способами можно переставить буквы в слове «социология» так, чтобы никакие две согласные буквы не стояли рядом?

6Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 9 одинаковых слив, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 киви, 1 банан, 1 грушу, 1 хурму, 1 айву, 1 абрикос и 1 мандарин так, чтобы каждый получил по 6 плодов?

12