10 (математика)
.docЗадача 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области
,
Решение
Область является стандартной относительно оси .
Сводим двойной интеграл к повторному по формуле :
Поменяем пределы интегрирования:
Ответ:
Задача 2. Вычислить объем указанной области с помощью двойного интеграла, переходя к полярным координатам.
Решение
Введем полярные координаты . Требуется вычислить двойной интеграл по проекции на плоскость , переходя к полярным координатам.
Ответ: 15
Задача 3. Вычислить массу тела с заданной плотностью с помощью тройного интеграла
Решение
Согласно физическому смыслу тройного интеграла масса тела равна
Ответ:
Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл для заданного векторного поля вдоль замкнутой ломанной с вершинами . Вычислить этот же интеграл с помощью формулы Грина.
Решение
Пусть векторное поле задано в виде
Замкнутая ломаная задана своими вершинами .
Формула Грина
Последний интеграл по геометрическому смыслу двойного интеграла численно равен площади треугольника с вершинами :
Таким образом,
Для вычисления криволинейного интеграла произведем параметризацию отрезков :
Далее, используя аддитивность криволинейного интеграла, получаем:
Складывая полученные значения, находим:
Ответ:
Задача 5. Вычислить криволинейные интеграл по кривой от точки до от заданного векторного поля .
Решение
В данном случае удобнее представить в параметрической форме:
В таком случае криволинейный интеграл по выведется к определенному интегралу:
Ответ:
Задача 6. Вычислить все значения величины
Решение
Прежде всего, вычислим
Вычислим .
При
При
При
При
При
При
При
При
При
При
Задача 7. Найти модуль и аргумент производной от заданной функции
Решение
Производную от этой функции вычисляем по обычным правилам:
Разложим на линейные множители знаменатель этой дроби. Для этого найдем корни уравнения.
Найдем модуль :
Для определения найдем аргументы каждого линейного множителя в :
Следовательно, аргумент производной равен:
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Решение
Задача 10. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения
Решение
Задача 11. Решить задачу Коши для линейного уравнения первого порядка
Решение
Найдем решение задачи Коши:
Решение задачи Коши найдено:
Задача 12. Проинтегрировать уравнение в полных дифференциалах
Решение
В этом уравнении
Поскольку , левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой функции .
Определим это функцию. Из равенства следует, что
Чтобы определить неизвестную функцию , воспользуемся другим равенством и получаем
Отсюда
Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения в виде , то есть
Задача 14. Найти общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами
Решение
Характеристическое уравнение:
В соответствии с этим получаем общее решение заданного уравнения:
Задача 15. Решить задачу Коши для линейного уравнения второго порядка
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
В этом случае общее решение однородного уравнения представляется в виде:
Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Итак, частное решение
Задача 18. Исследовать на устойчивость систему ОДУ
Решение
Найдем корни характеристического уравнения:
Корни комплексно-сопряженные, причем . Устойчивый фокус.