Алгебра 2014

1.10. Таблица целей обучения числовой линии

Формули-

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель;

Опознавае-

ровки обоб-

мость целей

цель считается достигнутой, если ученик:

щённых це-

лей

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Таблицы:

а)

алгоритмы

Ц 1: приоб-

а) сравнивает решение

задач из

а) решает практические задачи, приво-

а) решает практические зада-

выполнения

ретение

и

учебника и данных задач, выбирает

дящие к необходимости расширения

чи,

приводящие к необходи-

действий

с

преобразова-

задачи, приводящие к необходимо-

известного множества чисел; б) обоб-

мости расширения известного

числами;

б)

ние

УИ и

сти введения нового множества чи-

щает решение задач одного типа и со-

множества чисел; б) обобщает

алгоритмы

формирова-

сел; б) анализирует решение задач в

ставляет алгоритм, используя частично

решение задач одного типа и

сравнения

чи-

ние

познава-

учебнике, и сравнивает их решение

заполненную блок-схему

составляет алгоритм, исполь-

сел; в) класси-

тельных УД

с готовым алгоритмом

зуя пустую блок-схему

фикация

чис-

Ц

2:

кон-

а) называет: числа по их виду; компоненты действий, результаты; виды величин и

д) называет:

ловых

мно-

троль

усво-

взаимосвязь между ними; б) проговаривает алгоритмы: выполнения действий с чис-

классификацию

жеств; г) «Ви-

ения теории

лами; округления чисел; приём саморегуляции при выполнении заданий типа: «Вычис-

числовых мно-

ды

выраже-

лить»; в) формулирует законы и правила: выполнения арифметических

действий,

жеств; некоторые

ний»; д) приём

сравнения чисел; нахождения неизвестных компонент, с использованием конкретного

свойства число-

саморегуляции

примера; г) рассказывает краткие сведения из истории возникновения чисел

вых множеств

для

выполне-

ния

заданий:

Ц 3: приме-

умеет: а) использовать приём са-

умеет: а) использовать приём саморегу-

умеет: а) использовать приём

«Вычислить»;

нение знаний

морегуляции для выполнения за-

ляции для выполнения заданий типа

саморегуляции для выполне-

е) приём реше-

и умений по

даний типа «Вычислить» 1-го

«Вычислить» 2-го уровня сложности; в)

ния заданий типа «Вычис-

ния

текстовых

теме

уровня сложности,

с

помощью

решать текстовые задачи 2-го уровня

лить» 3-го уровня сложности;

задач

арифме-

таблицы; б)

решать

простейшие

сложности арифметическим способом;

в)

решать

арифметическим

тическим

спо-

текстовые

задачи

арифметиче-

г) составлять простейшие текстовые

способом текстовые задачи 3-

собом; ж) ал-

ским способом, с помощью таб-

задачи по данному числовому выра-

го уровня сложности; г) со-

горитм

лицы; г) составлять простейшие

жению; е) использовать приёмы кон-

ставлять

текстовые задачи

нахождения

текстовые задачи

троля вычислений

по данному буквенному вы-

модуля числа

ражению

Ц

4:

фор-

На своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы това-

Приёмы

кон-

мирование

троля, оценки

рищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям

коммуника-

и др.;

таблица

предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь товарищам, работающим на предыду-

тивных

коммуника-

щих уровнях; в) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы,

умений

тивной

ком-

предлагает её для решения товарищу и проверяет решение; г) осуществляет поиск информации для под-

петентности

готовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой

Ц

5:

фор-

В соответствии со своим уровнем освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) вы-

Приёмы

по-

мирование

становки

це-

бирает темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г)

организаци-

лей;

приёмы

осуществляет самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает свою

онных

уме-

итоговой

са-

УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными

ний

морегуляции

критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных

УПД

на коррекцию, планирует коррекцию учебной познавательной деятельности (УПД)

11

II. ЛИНИЯ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

II.1. Типы математических выражений

Математические выражения c одной переменной и их допустимые значения (f(х))

	алгебраические					неалгебраические
рациональные		иррацио-			лога-	показа-	Тригонометри-
		нальные			рифми-	тельные	ческие
					ческие
целые	дробные
х R	знамена-				logа f(x)	af(x)	1) tg x
		n f(x)
или х -	тель	при n =2к,				a 0, a 1,
любое	дробного	f(x) 0;			f(x) 0,	f(x) E(f),	x 2 + n, n Z
действи	выраже-	при n = 2k +			а 0,	при	2) ctg x,
стви-	ния не ра-	1			а 1.	х D(f)	x n, n Z
тельное	вен нулю	f(x) любое
число

		Типы математических выражений
			смешанные
алгебраические			трансцендентные
рациональные		иррациональные	показательные
			логарифмические
дробные	целые		тригонометрические
многочлены		одночлены

II.2. Предписания для разложения многочленов на множители

а) Разложение на множители способом вынесения общего множителя за скобки:

а) представить каждое слагаемое многочлена в виде произведения множителей; б) выделить общий множитель в каждом слагаемом;

в) вынести общий множитель за скобку (применить распределительный закон).

Самоконтроль:

1)количество слагаемых в скобках остается неизменным;

2)сделать проверку (обратное преобразование)

12

б) Разложение на множители с помощью формул сокращённого умножения (1):

а) определить вид выражения и количество слагаемых:

-разность двух слагаемых (может быть разность квадратов или разность кубов),

-сумма трёх слагаемых (может быть квадрат суммы или разности),

-сумма двух слагаемых (может быть сумма кубов);

б) представить каждое слагаемое в соответствие с определённой формулой; в) применить найденную формулу.

Самоконтроль: сделать проверку (обратное преобразование)

в) Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения (2):

а) определить вид выражения и количество слагаемых; б) представить каждое слагаемое в соответствии с определенной формулой; в) применить найденную формулу.

Cамоконтроль: cделать проверку (обратное преобразование)

г) Разложение на множители способом группировки:

а) сгруппировать слагаемые многочлена; б) разложить каждое из сложных слагаемых на множители:

если появился общий множитель в каждом слагаемом, то к пункту г), если – нет, то - к пункту в);

в) перегруппировать слагаемые и п. б); г) вынести общий множитель у каждого из сложных слагаемых за скобки (алгоритм (а)

д) привести подобные слагаемые (при необходимости).

Самоконтроль: сделать проверку (обратное преобразование)

13

II.3. Предписание для сокращения алгебраических дробей:

Чтобы сократить дробь нужно:

а) представить числитель и знаменатель дроби в виде произведения; б) выделить общий множитель числителя и знаменателя; в) разделить числитель и знаменатель на общий множитель (неравный нулю), используя основное свойство дроби.

Самоконтроль: сделать проверку (обратное преобразование)

II.4. Предписание для приведения алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

НАЧАЛО

сумма нескольких алгебраических дробей с разными знаменателями

зафиксировать знаменатели дробей

	нет	знамена-	да
		тели - степени с одинаковыми
		основаниями?

разложить на простые множители

знаменатель каждой дроби

найти степень с наибольшим по-

казателем - НОЗ

выписать любое разложение и добавить в качестве множителей,

недостающие множители из других разложений - НОЗ

для каждой дроби найти дополнительный множитель: НОЗ разделить на

знаменатель каждой дроби

умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный

множитель

КОНЕЦ

14

II.5. Таблица целей обучения тождественным преобразованиям выражений

Формули-

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Опознавае-

ровки

мость це-

цель считается достигнутой, если ученик:

обобщён-

лей

ных целей

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1:

при-

а) анализирует текст учебника и

а) сравнивает данные объекты

а) исследует заданные объекты и самосто-

Таблицы:

обретение

составляет схему определения поня-

и составляет схему определения

ятельно составляет схему определения по-

а)

классифи-

и преобра-

тия; б) анализирует решение задач

понятия

нового

выражения,

нятия, составляет классификацию типов

кация

типов

из учебника, обобщает их решение с

сверяясь с учебником; б) дока-

выражений, приводит их примеры; б) дока-

математиче-

зование

помощью готового предписания; в)

зывает основные

тождества,

зывает основные тождества по данному

ских выраже-

*

УИ

и

фор-

подводит решённые задачи под го-

используя учебник; в) обобща-

плану, формулирует идею доказательства;

ний; б) пред-

мирование

товое предписание; г) перечисляет

ет решение задач одного типа

в) по аналогии с преобразованиями число-

писания

для

ПУД**

новые преобразования и формулы,

и составляет предписание, ис-

вых выражений, составляет предписания

разложения

используя учебник

пользуя карточку - информатор

для преобразований буквенных выражений;

на

множите-

Ц 2: кон-

а) формулирует определения типов буквенных выражений; прави-

д) составляет: классификацию видов мате-

ли, для со-

троль

ла для их преобразования; основные тождества;

б) проговаривает

матических выражений; е) называет преоб-

кращения

усвоения

предписания для

преобразования

выражений

и

выполнения дей-

разования первой группы и устанавливает

дробей,

при-

ствий с ними; приём саморегуляции при выполнении заданий типа:

их

связь с числовыми множествами; ж)

ведения

их

к

теории

«Упростить»; в) называет способы доказательства тождеств; г) рас-

обосновывает доказательство

основных

общему

зна-

сказывает краткие сведения из истории темы

тождеств

менателю

Ц 3: при-

умеет: а) подводить математическое выражение под определение понятия;

приём

само-

менение

б) использовать основные фор-

б) использовать все преобразова-

б) использовать все преобразования

регуляции,

знаний

и

мулы и предписания для выпол-

ния группы «А» для выполнения

группы «А» для выполнения заданий

таблицы

с

умений

нения заданий

1-го уровня

заданий 2-го

уровня сложности;

3-го уровня сложности; в)

использо-

предписани-

сложности; в) использовать при-

в) использовать приём саморегу-

вать приём саморегуляции для выпол-

ями; карточ-

ём саморегуляции для выполне-

ляции для

выполнения заданий

нения заданий типа «Упростить» 3-го

ки - информа-

ния заданий типа «Упростить» 1-

типа «Упростить» 2-го уровня

уровня сложности

торы

го уровня сложности

г) составлять задания на преобразование математических выражений

Ц 4: фор-

на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует

приёмы

кон-

мирование

взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснова-

троля,

оценки

коммуни-

нием; б) оказывает помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) составляет контрольную работу в

и др.; таблица

соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяет решение; г) осу-

коммуника-

кативных

ществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с те-

тивной

компе-

умений

мой

тентности

Ц 5: фор-

в соответствии со своим уровнем освоения темы а) выбирает уровень освоения темы; б) выбирает темы

приёмы

по-

мирование

для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет само-

становки

це-

организа-

проверку с использованием образцов, алгоритмов и др.; д) оценивает свою УПД по данным объективным и

лей и саморе-

ционных

собственным критериям, сравнивая их; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших дей-

гуляции УПД

ствиях, направленных на коррекцию, планирует коррекцию учебной познавательной деятельности (УПД)

умений

* УИ - учебная информация; ** ПУД – познавательные учебные действия

15

II.6. Основные математические тождества (преобразования группы А)

(1) ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ:

1)

a

c

a c

; b ≠ 0; 2)

a m

a

1; m ≠ 0; 3)

a b

a

; b c≠0; 4)

a m

a; m≠0

b

b

b

b c

m

m

c

m

5)

a

c

ac

;

b d≠0; 6)

a

:

c

ad

;

b d с≠0; 7)

a

c

ac

; b≠0; 8)

a

: c

a

; b с ≠ 0;

b

d

bd

b

d

bc

b

b

b

bc

(2) ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ:

1) a + b = b + a;	2) a +(b + c) =(a + b)+c;	3) a(b + c)=ab + ac
a b = b a	a (b c) = (a b) c	ab + ac = a(b + c)
переместительный	сочетательный	распределительный

(3)ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ:

1)(a + b)2=a2 2ab + b2; 2) (a + b)3 =a3 3a2b + 3ab2 b3; 3) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2);

4)a2 - b2=(a - b)(a + b); 5) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; 6) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

(4)СТЕПЕНИ

1

Определения: 1) а•а•…..•а=аn; n N; 2) a0=1; 3) a-n=

, a 0; 4)

anm m an , m N, n Z

a

n

n раз

a 0;

b 0

Cвойства степеней:

m

m

1) am an= am+n;

am+n = am an;

2)

a

am n ;

am - n аn ;

a 0

n

a

a

n

n n

n

n

n

a n

an

an

a n

3) (a · b)

= a b ;

(a

b ) = (ab) ;

4)

;

;

b 0

b

bn

bn

b

5) an m anm ;

an m an m am n . Степень с дробным положительным

(отрицательным) показателем определена только для неотрицательного (по-

ложительного) основания

(a 0 и b 0)

(5) КОРНИ:

1)

Определения: 2k 1 b a <=>a2k+1=b, a, b R;

2k b =a<=>a2k=b при a 0 и b 0; ( n b )n

=b;

Cвойства

корней:

a 0,

b 0,

n N

n

m ;

n

a

a

1)

n a n b n ab;

2)

n

,

b 0;

3)

n

am

a

n b

b

4)

n am nk amk ; a 0, n, m, k N,

5) n m a m n a;

n, m N;

2

2k x 2k

6)

x

;

k N, x R; 2 x

x

;

7)

2k 1 b -- 2k 1 b , b R

(6) ЛОГАРИФМЫ

Определение:

alogab b, a 1, a>0, b>0- логарифмом положительного числа по

положительному и 1 основанию,

называется показатель степени, в которую

нужно возвести основание, чтобы получить выражение под знаком логарифма.

(4) Cвойства логарифмов: a>0; b>0; c>0; c 1;

1)

logc (a b) = logca +logcb;

2) logc

a

=logсa - logcb;

3) logcab = b logca, b R; 5) logc1=0;

b

4)

log b a =

1

logca, b 0;

6) logaa = 1; 7) logc a =

1

; 8) logb a =

log c a

; b 1;

c

b

log a c

log c b

9) logba logcb = logca;

16

II.7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

уа) Определение синуса числа и косинуса числа

М

cos = хм - абсцисса точки, полученной поворотом точки с ко-

	х	sin = yм - ордината точки, ординатами (1, 0) по единичной
-1	(1;0)	окружности на дугу, длина

которой равна этому числу ( )

б)Формулы одного аргумента

в) Формулы двойного аргумента

1) sin2 + cos2 = 1;

2) tg ctg = 1;

1) sin 2 =2sin cos ; 2) cos 2 = cos2 - sin2

3)

1 + tg2 =

1

; 4)

tg =

sin

;

1а)

sin2 2 =4sin2 cos2 ; 3)

1 + cos2 = 2cos2 ;

2

cos

cos

5)

1 + ctg2 =

1

; 6) сtg =

cos

;

4) 1 – cos2 = 2sin2 ; 4а) (1 – cos2 )2

= 4sin4 ;

2

sin

sin

г) Формулы сложения аргументов

1)

sin ( ) =sin cos sin cos ; 2) cos ( ) = cos cos sin sin ;

3)

tg ( ) =

tg tg

;

4) tg 2 =

2tg

;

1 tg tg

1 tg2

д) Формулы преобразования суммы одноимённых функций в произведение

1,2) sin sin = 2sin cos ;

3,4)

cos + cos = 2cos cos ;

2

2

2

2

5,6) cos - cos = - 2sin sin

2

2

е) Формулы преобразования произведения функций в сумму

1) sin sin =

1

[ cos ( - ) – cos ( + )]; 2) sin cos =

1

[sin ( - ) + sin( + )];

2

2

3) cos cos =

1

[cos ( - ) + cos ( + )]

2

ж) Определение арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа,

арккотангенса числа

1)

sin (arcsin a)

= a,

a 1;

arcsin a

[- /2;

/2],

arcsin(-a) = - arcsin a,

2)

cos (

rcos a) = a,

a 1;

rcos a

[0; ],

rcos (-a) = -

rcos a,

3)

tg (arctg a) = a,

a

R;

arctg a

(- /2;

/2),

arctg (-a) = - arctg a,

4)

ctg (arcctg a) = a,

a

R;

arcctg a

(0; ),

arcctg(-a)= - arcctg a

з) Чётность и нечётность тригонометрических функций

1)

sin (- ) = - sin ;

2) cos(- ) = cos ;

3)

tg (- ) = - tg ; 4) ctg (- ) = - ctg

Ма

у

α

и) Формулы приведения

х

Т(A) = Т (а α) =

?

Т(α)

х

М(1;0)

сТ(α)

у

Т– тригонометрическая функция

?– знак искомой функции определяется знаком данной функции по четвертям;

а – число, кратное ½ π или π, α – длина дуги, 0<α< ½ , сТ – кофункция для данной тригонометрической функции Т.

17

III.ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛИНИЯ

III.1. Основные элементарные функции

Функция, определена на числовом множестве М, если:							у
1)	задано соответствие (по определённому закону) и
2)	каждому числу х Ì		соответствует					х
единственное число у;
х – аргумент – независимая переменная
у – функция – зависимая переменная					не функция
	Название,			Графики функции
	вид функции
1. Линейная:			y
y = кx + в			у = в
к, в R		0	х
ООФ: х R						в
							в 0, к	0
				в = 0, к 0	0, к 0
		к = 0
2. Квадратичная:		в = 0, с = 0		в 0, с = 0	в = 0, с 0		в 0, с 0
y = ax2 + вх + с		у = ax2		у = ax2 + вх	у = ax2 + с		у = ax2 + вх + с

а 0; a, в, с R

ООФ: х R

3. Степенная: y = хr

ООФ – множество у = х½ таких х, при кото-

рых xr имеет смысл при конкретном значении r

4.Показатель-

ная:

y = ax , a > 0, a 1

ООФ: х R

5. Логарифмическая:

y = loga x, a > 0, a 1

ООФ: х > 0

18

наименьший положительный период

ctgx = a, x = arcctga + πn, n Z

Тригонометрические функции

6. y = sin

D(x): x R E(y): |y| 1

sin ( 2 n) = sin ; T = 2 - наименьший положительный

	период
sinx=a, |a| 1, x=(-1)n	rcos e+πn, n Z

7. y = cos x

D(x): x R

E(y): |y| 1

cos ( 2 n)=cos ; T = 2 - наименьший положительный период

cosx=a, |a| 1, x= arccosa+2 πn, n Z

8. y = tg x
D(x):
х 2	n ,
n Z		x = /2 + n -		асимптоты; tg ( n )= tg ;
E(y): y R		T = - наименьший положительный период
			tgx = a, x = arctga + πn, n			Z

9. y = ctg x

D(x): x n , n Z

E(y): y R

x = n - асимптоты; ctg ( n )= ctg ; T = -

19

III. 2. Свойства функций

Определение свойств функций

Графическая интерпретация

1.Областью определения функции f(x)

называется множество значений аргумента (х), при которых функция имеет смысл

Обозначается: D(f) или D(y)

Проек-

	ция графика на ось ОХ
2. Область значений функции f(x) –			y
значения, которые принимает функ-
ция (y; f).
Обозначается: Е(f) или Е(у)
			x
	Проекция графика на ось ОY

	3. Нули (корни) функции – значения ар-
	гумента, при которых функция равна ну-
	лю:
	f(x) = 0 при х = а; b; c; e;			- корни
	функции
					Точки пересечения графика с осью ОХ
	4. Функция называется четной (не-				График четной (нечетной) функции симмет-
	четной), если для любого х из об-
					ричен относительно оси ОУ (начала коорди-
	ласти определения функции
					нат)
	–х D(f) и выполняется равенство:
	f(-х) = f(х)		- чётность
	(f(-х) = - f(х) - нечётность)
	5. Функция называется возрастающей
	(убывающей) на некотором промежутке,
	если большему значению аргумента со-
	ответствует большее (меньшее) значение
	функции:
	x1 > x2	 y1 > y2 – возрастает,
	(x1 > x2	 y1 < y2	– убывает)		График слева направо направлен
	на этом промежутке				вверх	вниз
	6. Промежутки знакопостоянства –
	значения аргумента, при которых функ-
	ция больше нуля или меньше нуля, т. е.
	такие х, что y > 0		или y < 0.
					График над (под) осью ОХ
	7. Экстремальные значения (max, min)-
	функция у = Ф(х) имеет в точке х0 max
	(min), если существует такая окрест-
	ность точки х0, принадлежащая D(Ф),
	что для любого х из этой окрестности
	выполняется неравенство: Ф(х0) > Ф(х),
		(Ф(х0) < Ф(х) )

8. Функция называется периодической,

если существует такое Т 0, что для всех х из области определения функции:

f(х + Т) = f(x – T) = f(x)

III. 3. Построение графиков функций с помощью преобразований

20