Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА_ЛК1_16_01_2012.doc
Скачиваний:
82
Добавлен:
06.06.2015
Размер:
347.14 Кб
Скачать

Элементы математической логики Лекция 1. Основные понятия математической логики

Историческая справка.

Основные понятия алгебры высказываний.

Формулы алгебры высказываний.

Историческая справка

Логика – это наука, которая учит, как нужно правильно рассуждать, правильно делать умозаключения и выводы, получая в результате правильные высказывания. Логика изучает лишь те акты мышления, которые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупности. Логика как наука сформировалась еще в IV в. до н.э. Создателем традиционной формальной логики был древнегреческий ученый Аристотель (384–322 гг. до н.э.). Долгое время его труды в этой области рассматривали как завершающий этап в развитии логики.

Идея математической логики впервые в ясной форме была выдвинута немецким математиком Лейбницем (1646–1716). Первые научные работы по алгебраизации аристотелевской логики опубликовали шотландец де Морган (1806–1875) и англичанин Джордж Буль (1815–1864). Строгое аксиоматическое изложение логики высказываний и предикатов дал известный немецкий математик и логик Г.Фреге (1848–1925). Высшее развитие математическая логика получила в основополагающем труде «Основания математики» (1910–1913) А. Уайтхеда (1861–1947) и Б.Рассела (1862–1970), а затем в работах немецкого математика

Д.Гильберта (1862–1943). Существенный вклад в математическую логику внесли советские математики А.А.Марков (мл.) и П.С.Новиков.

Методы математической логики широко используются при создании компьютеров (алгебра высказываний и булевы функции – математический аппарат для разработки релейно-контактных схем) и математического обеспечения для них (логика предикатов, теория алгоритмов, экспертные системы).

Высказывания

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов, для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления (рис. 1).

Рис. 1

Основными объектами разделов логики являются высказывания.

Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия «истинно» или «ложно».

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Пример. Рассмотрим суждения:

  1. «3<7»; 2) «Волга впадает в черное море»; 3) «Я лгу».

Первое высказывание является истинным, второе – ложным. Третье суждение не является высказыванием, так как ему нельзя присвоить значение «истина» или «ложь».

К высказываниям не относятся вопросительные и отрицательные предложения.

Высказывание будем называть простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества).

Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью основных логических связок.

В естественном языке (при вербальном описании явления) роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или»; слова «если…, то…», «тогда и только тогда, когда» и др.

Пример. Высказывание «Идет дождь или снег» – сложное , так как состоит из двух простых высказываний: А – «Идет дождь», В – «Идет снег», соединенных связкой «или».