Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

BIS5_matem_org_ua

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
06.06.2015
Размер:
1.77 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

а

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

м

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ы

 

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет

Библиотека иностранного студента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л.И. Бойко

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А.М. Мильцын

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.И. Павлищев

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

а

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частьм .org5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭЛЕМЕНТЫАНАЛИТИЧЕСКОЙ

 

 

 

 

 

 

 

ы

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вГЕОМЕТРИИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

(в примерах и задачах)

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное пособие

Днепропетровск

НГУ

2008

УДК 514.12 (075.8) ББК 22.151.5я73 Б 77

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.2007).

Бойко Л.Й., Мільцин А.М., Павліщев В.І.

Б 77 Математика. У 14 ч. Ч.5. Елементи аналітичної геометрії (у прикладах і

задачах): Навч. посібник. –Д.: Національний гірничий університет, 2008.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

– 84 с. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

рівня складності з

Посібник має близько 100 типових задач середньогоУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

. Орієнтований на

розв’язуванням, методичними вказівками та рекомендаціямиГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

.

 

 

 

 

 

 

організацію системної підготовки й самопідготовкик

 

 

 

 

 

 

Розглядаються пряма лінія на площиніти, криві другого порядку, площина,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

а

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

пряма лінія у пространстві, а також на поверхнім

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для студентів – іноземних гром дян,

а також для студентів – громадян

України, що вчаться на всіх

 

 

 

 

.

 

 

 

очно, заочно, дистанційно, за

спеціальностяхм

 

 

 

 

 

 

ы

 

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вечірньою формою та екстерноме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

р

100 типовых задач среднего уровня сложности с

Пособие содержитд

 

решениями, методическимиф

указаниями и рекомендациями. Ориентировано на

а

 

 

подготовки и самоподготовки.

 

 

 

 

 

организацию системнойК

 

 

 

 

 

Рассматриваются прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, плоскость, прямая линия в пространстве и на поверхности.

Для студентов – иностранных граждан, а также для студентов – граждан Украины, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном.

УДК 514.12 (075.8) ББК 22.151.5я73

Л.Й. Бойко, А.М. Мільцин, В.І. Павліщев, 2008

Національний гірничий університет, 2008

Содержание

Предисловие .........................................................................................................

1.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ .......................................................................

1.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки ..............................................................................................

1.2.Уравнение прямой в отрезках.

Взаимное расположение двух прямых ............................................

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ....................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

2.1. Общее уравнение кривой второго порядка. Окружность .................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

2.2. Эллипс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Гипербола

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

..............................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

2.4. Парабола

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

2.5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы .....................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ПЛОСКОСТЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

те

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ПОВЕРХНОСТИ

 

 

 

с

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..............................................................................................

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. Цилиндрические поверхностиш

..............................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2. Поверхности .........................................................................вращенияы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3. Поверхности второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Канонические .............................................дуравнения поверхностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

5

10

18

18

27

36

46

54

60

66

74

74

74

76

85

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.

Соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента», авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета

профессор

Бузило

В.И. и

 

директор

ИЗДО

 

профессор

Рыбалко"

А.Я. Серия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

к решению задач

содержит четырнадцать справочно-практических руководствГ

по математике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

Объем и содержание 5-й части «Элементы

Заналитической геометрии»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

отвечает общему курсу высшей математики. Включает элементы теории,

задачи, методические указания к решению и, собственнои

, решение задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работая

с

 

учебным

пособием,

 

т

 

 

 

 

научатся

распознавать

и

 

с удентыи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

описывать

аналитически

 

различные

м

 

 

 

 

 

 

объекты,

а

именно:

 

геометрические

 

прямую линию, кривые второго порядкате

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, плоскости и поверхности. Освоят

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

расположения, узнают условия

решение задач по определению взаимного.org

 

параллельности

и

перпендикулярностий

 

 

прямых,

плоскостей и

прямой

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскостью. Научатся классифицировать поверхности и интерпретировать их

геометрически.

 

Получат

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знания

 

по

алгебраическим

 

ыдополнительныеmatem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнениям первого и второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Состав

и

 

 

 

д

 

 

 

подачи

материала

 

позволяет

планировать

и

 

структура

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оперативно

 

 

 

ф

 

 

 

 

общие и индивидуальные контрольные

тестовые

формировать

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нагрузку и

самостоятельную

работу,

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задания, распределять аудиторную

диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль знаний и прогнозировать результаты.

Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.

4

1.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

1.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение Ax + By +C = 0 ,

(1)

где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой. Вектор n = ( A, B) , перпендикулярный к данной прямой, называется

нормальным.

Если С = 0, то прямая проходит через начало координат.

Если А = 0, то прямая параллельна оси ОХ. При В=0 прямая параллельна оси OY. Если А = С = 0, то получаем y = 0 – уравнение оси ОХ. При В = С = 0

имеем x = 0 – уравнение оси OY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

Уравнение прямой, записанное в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = kx +b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь k = tgϕ ,

 

где

 

ϕ

 

 

 

угол

 

 

 

к

 

 

 

прямой и положительным

 

 

 

 

 

 

 

между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлением оси ОХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, y

 

) в данном

Уравнение прямой, проходящейеч рез данную точку A(x

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлении (с заданным угловым

а

 

 

 

 

 

 

 

 

) записывается в виде

мкоэффициентом.org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

y y ш= k(x x

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ы

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Его также называютауравнением пучка прямых.

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения (2)

 

р

 

 

определяют любую прямую на плоскости кроме

ди (3)

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одной, параллельнойфоси OY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(xA, yA ) и

УравнениеКпрямой, проходящей через две заданные точки

B( xB , yB ) , имеет вид

 

 

 

x xA

 

 

 

 

y yA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xB xA

 

 

yB yA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Построить прямую 3x 2 y +6 = 0 .

Решение. Для построения прямой достаточно знать какие-либо две ее точки, например, точки ее пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью ОХ можно получить, если в уравнении прямой принять y = 0. Тогда имеем 3x +6 = 0 , т.е. x = −2 .

Таким образом, имеем точку A(2;0) .

5

Точка В пересечения прямой с

осью ОY

имеет абсциссу x = 0 ;

следовательно, ордината точки

В

находится

из уравнения 2 y +6

= 0 ,

т.е. y = 3.

Таким образом, B(0;3) (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

3x 2 y +8 = 0 .

 

Задача 2. Построить прямую, определяемую уравнениемЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Запишем уравнение

в видек

 

y =

 

x

+4 .

Далее

возьмем,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

например, x1 = 0 и x2 = −2 , находим

м

 

 

y2

=1. Через точки

M1(0;4) и

y1

= 4

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2

(2;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проводим прямую (рис. 2). те

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ы

 

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

Рис. 3

6

Задача 3. Построить прямую, определяемую уравнением 3x +2 y = 0 .

Решение. Так как в уравнении отсутствует свободный член, то прямая проходит через начало координат. Найдем еще одну точку. Полагая, например, x = 2 , находим y = −3. Проводим прямую через начало координат и точку А(2;-3) (рис. 3).

Задача 4. Написать уравнение прямых, проходящих через точку А(-1;2) параллельно координатным осям.

Решение. В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a

и b определяют координаты нормального

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

вектора к прямой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

n = (a,b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

Если прямая параллельна оси ОХ, то

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

n = (0, b) .

Тогда

 

 

уравнение

 

 

прямой

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

by + c = 0

или

y =

 

 

 

1

Учитывая,

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= c .

а

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что прямая проходит через точку А(-1;2),

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

то уравнение ее y = 2 (рис. 4).

 

 

 

 

те

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

получаем

 

 

 

 

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнением

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ы

 

 

 

matem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

прямой, проходящей

 

через

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точку А,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллельно оси Oy : x =1.

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

квадрата находится в начале, а точка пересечения

Задача 5. Одна из вершина

 

 

 

 

е

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его диагоналей – в точкед S(−1;1) . Составить уравнение сторон квадрата.

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КВ квадрате диагонали делятся пополам точкой их пересечения

(рис. 5). Из равенства векторов

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OS

SB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следуют равенства их проекций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OD = DA,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OE = EC.

 

 

 

A = −2,C = 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда имеем уравнения сторон квадрата:

AO : y = 0; OC : x = 0; BC : y = 2; AB : x = −2.

Рис. 5

7

k = tgϕ =

Задача 6. Даны две точки прямой. Найти ее угловой коэффициент.

Решение. Из рис. 6 очевидно решение. Оно дается формулой

y2 y1 . x2 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

 

 

Г

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Составить уравнение прямойа , которая отсекает на отрицательной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

 

 

 

.

 

 

 

с осью OX угол ϕ = 30 .

полуоси OY отрезок, равный 2 единицам, и образуетua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

matem

 

 

 

прямой с угловым коэффициентом

Решение. Воспользуемся уравнениемй

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2): y = kx + b .

 

 

 

 

 

ы

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

, b = 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нашем случае k = tgϕ = tg30

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем искомое уравнениед

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yа=

 

 

x 2

 

 

 

 

или

 

 

 

 

3x 3y 6 = 0 .

3

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8. Прямая, проходящая через точку A(2;3) , образует с осью OX угол 135о. Составить уравнение этой прямой.

Решение. Угловой коэффициент прямой k = tg135D = 1. Уравнение прямой, проходящей через точку M0 ( x0 , y0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид (3):

y y0 = k( x x0 ) .

 

В нашем случае

 

 

y 3 = ( x + 2)

или

x + y 1 = 0 .

8

Задача 9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;5) и образующей с осью OX угол 45о.

Решение. Угловой коэффициент

искомой

прямой k = tg45D =1.

Воспользовавшись уравнением прямой y y0 = k( x x0 ) , получаем

y 5 =1( x (2))

или

x y + 7 = 0 .

Задача 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;5)

и B(7;2) .

Решение. Воспользовавшись уравнением

 

x x1

 

=

 

 

y y1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

 

 

y

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (3)

 

 

 

 

 

y 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3

 

 

 

 

 

 

y 5

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

=

 

 

 

 

 

или

 

 

=

,

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 (3) 2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда 7x +10 y 29 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11. Точка движется прямолинейно и в некоторые моменты времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет координаты (6;1) и (4;3) . Написать уравнение ее траектории.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ua

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

 

 

прямой. Используем

 

 

 

 

A(6;1) и аB(4;3)

лежат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

org

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y1

 

 

 

 

 

 

 

x x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение прямой, проходящейеч рез две точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

Подставим

 

 

 

y

2

y

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

xmatem+ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

x + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ы1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координаты точек А и В:

 

 

 

в

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

или y = x + 7 .

 

а31

 

4

+ 6

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и C(6;5) . Составить

Задача 12. Даны вершины треугольника A(1;1), B(2;3)

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А и найти ее длину.

 

Решение. Найдем координаты середины

D стороны ВС треугольника по

координатам концов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

B

+ x

 

 

 

 

 

2 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

B

+ y

 

 

 

 

 

 

3 +

5

 

 

 

 

 

 

 

 

xD =

 

 

 

 

C

=

 

 

 

 

 

 

= 4 ,

 

 

 

 

 

 

yD =

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

 

 

 

 

 

 

 

= 4

D(4;4) .

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Искомое

уравнение медианы

 

 

AD

находим по

 

формуле

 

 

 

 

 

x xA

 

=

y yA

 

,

 

 

 

 

 

 

xD xA

yD yA

 

x 1

 

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

=

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

y = x . Длину

 

 

 

 

AD

 

 

 

находим по

 

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1

 

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = ( xD xA )2 + ( yD yA )2 . Имеем

d = AD = (4 1)2 + ( y +1)2 = 2 32 = 3 2 .

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]