BIS3_matem_org_ua

"

У

Г

Н

"

З

У

В

Г

и

к

и

т

е

а

ua

т

м

.

м

org

а

.

ы

matem

й

е

ш

в

с

а

р

д

е

ф

а

К

Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Библиотека иностранного студента

"

У

Г

Н

Л.В. Новикова

"

З

Е.С. Синайский

У

В

О.В.Бугрим

Г

Л.И. Заславскаяи

к

и

т

а

МАТЕМАТИКАм .ua

е

м

т

org

а

.

ы

matem

й

Часть 3

е

ш

в

с

ЭЛЕМЕНТЫ

а

рЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

д

(в примерах и задачах)

е

ф

а

К

Учебное пособие

Днепропетровск

НГУ

2008

УДК 512.644 (075.8) ББК 22.143 М 34

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 9.10.07).

Математика: Навч. посібник: У 14 ч. Ч. 3. Елементи лінійної алгебри М 34 (у прикладах і задачах) / Л.В. Новікова, Є.С. Сінайський, О.В. Бугрим, Л.І. Заславська. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – 87 с. –

Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).

"

У

Г

Н

"

З

Містить стислі

теоретичні

відомості

У

рекомендації до

та практичні

Г

розв`язування прикладів на тему «Лінійна алгебраВ». Матеріал подано у формі

и

розділів (модулів), усі задачі розв`язані й доведені до відповіді. Контрольні

к

и

приклади у кінці кожного модуля дозволяють визначити ступінь засвоєння

т

навчального матеріалу.

е

а

ua

корисним студентам

Рекомендовано для студентів-інозмців.Може бути

т

а

технічних вузів денної, вечірньої, з очної і дистанційної форм навчання, а

також для тих, хто навчається екстерномм .org

й

е

ш

с

ы

Содержит краткие теоретическиеmatemсведения и практические рекомендации

к решению примеров впо

теме

«Линейная алгебра». Материал представлен

а

р

в форме разделов (модулей), все задачи решены и доведены до ответа. Конт-

д

е

рольные примеры в конце каждого модуля позволяют определить степень

ф

усвоения учебного материала.

а

К

для

студентов-иностранцев. Может

быть полезным

Рекомендовано

студентам технических вузов дневной, вечерней, заочной и дистанционной форм обучения, а также обучающимся екстерном.

УДК 512.644 (075.8) ББК 22.143

©Л.В. Новікова, Є.С. Сінайський, О.В. Бугрим, Л.І. Заславська, 2008

©Національний гірничий університет, 2008

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ……….………………………………………………………………

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ………………..……….………………………………………...

1.1. Определители 2-го и 3-го порядков ……………………….……...………

1.2. Основные свойства определителей ………………………….....................

1.3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца ….…………………..

1.4. Понятие об определителях высших порядков ………………………….

"

2. МАТРИЦЫ ……...........................................................................................................

У

2.1. Основные определения ………………………………………………………Г

Н

"

2.2. Линейные операции над матрицами ……..…………………………..

В

З

2.3. Умножение матриц ……………………………………………………………У

Г

и

2.4. Обратная матрица ……………………………………………………………..

т

к

матрицы ……………

2.5. Ранг матрицы. Элементарные преобразованияи

е

а

ua

м

атрицы ……………………………..

2.5.1. Методы вычисления ранга

т

.

м

org

а

2.6. Матричные уравнения ………………………………………………………..

ы

.

matem

й

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ ………………………………………………………………………..е

ш

3.1. Матричная запись си темы линейных уравнений ……………………

в

3.2. Решение невырожденных линейных систем ……………………………

а

р

д

3.2.1. Формулы Крамера…………………………………………………….

е

ф

3.2.2. Матричный метод ……………………………………………………

а

3.3. МетодКпоследовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса) ………………………………………………………………….

3.4. Критерий совместности системы линейных уравнений …………….

3.5. Системы однородных линейных уравнений ……………………………

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………........

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ……………………………………………………..

4

5

5

12

16

19

27

27

30

33

37

41

43

47

59

59

61

61

65

68

75

79

86

87

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых; информатика и вычислительная техника; машиностроение и металлообработка.

Учебное пособие соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента», авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного фа-

"

культета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я.

Г

к решению

Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководствУ

задач элементарной и высшей математики.

Н

"

З

Содержание части 3 «Элементы линейной алгебры» отвечает общему

курсу высшей математики для технических специальностейУ

. В нее включены

В

следующие разделы: определители; матрицы иГдействия над ними; системы

к

линейных уравнений (решение и исследованиеи).

т

полное и одновременно

В начале каждого раздела помещено достаточнои

м

. Затем приводятся подробные

лаконичное изложение теоретических сведенийа

.

решения типовых примеров, расположенные вuaпорядке возрастания сложности

и доведенные до ответа.

м

т

org

а

.

с

matem

Изучение материала данного пособия позволяет студенту научиться са-

й

достаточные практические навыки, ко-

мостоятельно работать и приобретатье

торые необходимы при изученииш

как других разделов высшей математики, так

и специальных дисциплины.

в

а

Список литературы дает ссылки на учебники и задачники, которые мож-

д

но использовать длярболее полного изучения теоретического материала, а так-

же для подбора дополнительныхе

упражнений и задач.

а

издается на

русском языке, что обусловлено договором

Руководствоф

между университетомК

и иностранными студентами о языке их образования.

Пособие может быть также использовано для самостоятельной работы и подготовки к модульному контролю студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.

4

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Определители 2-го и 3-го порядков

Пусть дана таблица (называемая матрицей), состоящая из четырех чисел:

a	a		(1.1)
11	12
a	a
21	22

Эта матрица имеет две строки и два столбца. Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквами с двумя индексами. Первый индекс указывает

номер строки, а второй – номер столбца. Например, a12 означает число, стоя-

щее в первой строке и во втором столбце,

a21

"

во второй

– число, стоящееУ

строке и первом столбце.

Числа a ,

a

,

a ,

a

Г

элементами

22

называютН

11

12

21

"

матрицы.

З

Определителем (или детерминантом)

У

2-гоВпорядка, соответствующим

Г

матрице (1.1), называют число

и

, которое получают из ее элементов по пра-

вилу a

a

a a

к

. Определитель обозначают символом

11

22

12

21

т

а

и

.12ua

11

aм a

е

.

т

org

м

а a21

a22

.

matem

Таким образом,

й

е

ш

a12

a11

11a22

a12a21.

(1.2)

с

a22

ыa21

в

д

а

Числа a

,

a

, a

называют элементами определителя . Эле-

a р,

21

11

12

22

е

менты a11

ф

образуют главную диагональ, а элементы a12 и

a21 – по-

и a22

а

бочную.

К

Согласно формуле (1.2) для вычисления определителя 2-го порядка нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Рассмотрим таблицу (матрицу), состоящую из девяти чисел:

a	a	a
11	12	13
a21	a22	a23	.	(1.3)
a	a	a
31	32	33

Определителем (или детерминантом) 3-го порядка, соответствующим матрице (1.3), называют число , связанное с ее элементами следующим образом:

5

	a11	a12	a13
	a21	a22	a23	a11a22a33 a21a32a13 a12a23a31
	a31	a32	a33

(1.4)

a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .

Элементы определителя обозначаются в общем виде символом aij , при-

чем первый индекс i

указывает номер строки, а второй

j

– номер столбца, на

пересечении которых стоит данный элемент.

a22

a33

В определителе 3-го порядка (1.4) элементы a11,

и

образуют

главную диагональ, а элементы a

,

a

и

a

– побочную.

"

13

22

31

Г

Н

У

Для запоминания формулы (1.4) применяют «правило треугольников»

"

З

(см. рисунок); первые три слагаемые в правой части формулы (1.4) являются

произведением элементов, стоящих на главной диагоналиУ

и в вершинах двух

В

Г

треугольников, у которых одна сторона параллельна главной диагонали; ана-

логично образуются слагаемые, которые необходимои

вычесть, только за осно-

ву берется побочная диагональ.

к

и

т

а

.ua

м

е

м

т

org

а

.

с

matem

й

е

ш

Замечание.

в

определителя могут быть не только числа, но и

Элементамиы

алгебраические и тригонометрическиеа

выражения, функции и др.

р

д

Пример 1е.1. Вычислить определители 2-го порядка:

ф

а

а)

2 К4

;

б)

7

4

;

в)

0

4

;

г)

1

2

;

1 7

6

5

5 6

5

7

д)

a

a

;

е)

a 2

a2

;

ж)

1

loga

1

;

a

1

a

a2

2a

4

logb a

1

b

tg

1

cos

sin 6

tg 5

cos 3

.

з)

;

и)

12

;

к)

1

ctg

cos

cos

2 sin

ctg

6

12

6

5

6

Решение. Для вычисления определителей 2-го порядка применяем фор-

мулу (1.2).

а)			2 4													2 7 1 4 14 4 10;
			1								7
б)								7 4											7 5 4 6 35 24 59 ;
						6							5
в)					0						4					0 6 5														4 0 20 20 ;																																									"
						5 6
																																																																						У
																																																																				Г
		1											2																																																					Н
г)																						1																																											"					3;
			5										7																	7 5 2 7 10 7З 10
																																																													У
																																																												В
																																																											Г
										a									a																																							и
д)																							a 1										a						a a a																		к
																																																							и0 ;
																																																						т
										a								1																														е			а						ua
																																														т			м						.
																																																			org
									a 2															a2																					а
																																																	.																		2						3					3
е)																																	a м2																2		2a 4 a a																		a					8			a		8;
										a								a2									1				ы											matem
																										2a 4													й
																																					е
																																		ш
											1								log											в		с																						1
ж)																								a								1 log													a log												1 log									a log								b 1 1 2;
																															1												b										a b											b
									logb a																		bа																																										a
																							1д																																														1 logb a
																							е				р
																																																loga b
																			ф
									tg							а																																													1
з)														К							1						tg ctg 1 1 tg																																						1 1 1 2 ;
										1						ctg																																												tg
									cos														sin																																																					1 sin
																											6
и)												12																		cos											cos									cos									sin						cos2
																																			12																							6					6																3
									cos											cos																										12																									12					2
													6													12
											1																				1													1										3					1				3					1						3			3			1
																		cos															sin
													1																																																																				;
											2																6				2							3							2	1								2					2				2					2					4			4				2

7

к)

tg 5

cos

3

tg

ctg

2 sin

cos

1 2 1

1

1

1

1 .

5

5

6

3

2

2

2

2

2 sin 6

ctg

5

Пример 1.2. Решить уравнения:

а)

3x

x 22

0;

б)

5x 2

4x

0;

в)

sin x

1

0 ;

1

4

2x 3

1

1

2cos x

0,5

x2

0,25

x 1

2

"

г)

0 ;

д)

1

1

0 .

У

0,125

22x 6

Г

Н

"

З

Решение.

У

Раскрывая определители по формуле (1.2), приходим к урав-

Г

в слу-

нениям: алгебраическим в случаях а), б) и д), тригонометрическомуВ

чае в) и показательному в случае г).

и

к

и

т

3x

x

22

x

а

ua

м

а)

1

4

0

3x 4

22

0 12x x 22 0

е

.

т

x 2 .

11.xorg22

а

с

м

matem

й

x 2 в заданный определитель:

Проверим результат, подставиве

ш

3 2

2 ы22

6

24

1

в

1

4

6 4 1 24 24 24 0 ;

а

4

р

д

5x

е

2ф

4x

а

0 5x 2 1 4x 2x 3 0

б)

К

2x

3

1

5x 2 8x2 12x 0 8x2 17x 2 0 8x2 17x 2 0 .

Находим дискриминант полученного квадратного уравнения

D 172 4 8 2 289 64 225 152 .

Следовательно, x 17 15		1	;	x 17 15		2 ;
1	16	8		2	16

8

в)

sin x

1

0

2 sin x cos x 1 0

sin 2x 1

1

2cos x

sin 2x

2x

2k x

k ,

k 0, 1, 2,...;

2

4

г)

0,5

x2

0,25

0

1

x2

22x 6

1

1

0

2

8

4

0,125

22x 6

2 x

2

22x 6

1

5

0

2 x

2

2x

6 2 5 x2 2x 6 5

"

2

У

Г

x

2

2x 1

0

2

"Н

1;

x 1

0

x

З

У

В

x 1

2

Г

д)

0

x 1

2

0

.и

1

1

к

и

т

а

.xua1

x 1,

если

x 1 0,

м

е

Согласно определению модуля числа

т

org

x 1,

если

x 1 0.

а

.

Поэтому рассмотрим два случая:

м

ы

matem

а)

x 1 0 или

й

x 1е. Тогда заданное уравнение решается так:

ш

x 1

2 0

с

1 2 0 x 1 0 x 1;

x

в

б) x 1

0

р

илиаx 1. В этом случае приходим к решению:

x 1

д

x 1 2 0 x 3 0 x 3.

2 е0

ф

а

x2 3 .

ТакимКобразом, корнями данного уравнения являются x1 1,

Пример 1.3. Решить неравенства:

а)

2x 2 1

5;

б)

x 3x

14;

в)

2x

6

0 .

7x

2

4 2x

1 3 2x

Решение.

а)

2x 2

1

5

2 2x 2 7x 5

7x

2

4x 4 7x 5

3x 9

3x 9

x 3 или

x , 3 ;

9