- •МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
- •Становление математической логики
- •Джордж Буль
- •Большой вклад в становление и развитие алгебры логики внесли
- •Логика – это наука о формах и способах мышления
- •Высказывание
- •Об истинности высказываний
- •Логические высказывания
- •Обозначение высказываний
- •Логические
- •Логическое отрицание (инверсия)
- •Логическое отрицание (инверсия)
- •Логическое сложение (дизъюнкция)
- •Логическое сложение (дизъюнкция)
- •Логическое умножение (конъюнкция)
- •Логическое умножение (конъюнкция)
- •Логическое следование (импликация)
- •Равносильность
- •Равносильность
- •Логическая
- •Порядок выполнения операций:
- •Запомни!
- •Алгоритм построения таблицы истинности логической формулы:
- •Пример: Для формулы А & (B v ¬ B & ¬ C)
- •Задача: Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a
- •Задача: Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a
- •Пример. Построим таблицу истинности следующей функции:
- •Построим таблицу истинности для следующей
- •Задание. Построить таблицу истинности для следующих функций:
- •Спасибо за внимание!!!
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Становление математической логики
Родоначальник –
Аристотель (IV век до н. э) –
появление формальной логики – рассуждения.
Аристотель
Последователь –
Лейбниц (XVII век) –
появление математической (символической) логики.
Лейбниц Готфрид Вильгельм
Джордж Буль
Шеннон Клод Элвуд
•Дж. Буль (1815-1864)
•Отцом алгебры логики по праву считается английский
математик XIX столетия Джордж Буль.
Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.
•К. Шеннон (1916-2001)
•Долгое время алгебра логики была известна достаточ
но узкому классу специалистов.
Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Дж. Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон (1916-2001) показал, что алгебра логики применима для описания самых
разнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно- ламповых схем.
Большой вклад в становление и развитие алгебры логики внесли
•Августус де Морган (1806-1871),
•Уильям Стенли Джевонс (1835-1882),
•Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907),
•Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914),
•Андрей Андреевич Марков (1903-1979),
•Андрей Николаевич Колмогоров (1903- 1987)
•и др.
Логика – это наука о формах и способах мышления
Формы мышления
понятие суждение умозаключение (высказывание, утверждение)
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Высказывание – это форма мышления. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение)
Высказывание
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними;
Высказывание может быть либо истинно, либо ложно;
Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков;
Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением;
Высказывания могут быть простыми и составными;
Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла;
Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.
Об истинности высказываний
Это не простой вопрос. Например, высказывание
«Число 1 +2 32= 4294967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году
Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно.
Вцелом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
Что же является высказыванием в формальной логике?
Логические высказывания
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?
Обозначение высказываний |
9 |
|
A – Сейчас идет дождь. } B – Форточка открыта.
простые высказывания (элементарные)
!Любое высказывание может быть ложно (обозначают 0 или Ложно или False) или истинно (1 или Истинно или Тrue).
Составные высказывания строятся из простых с
помощью логических связок (операций) "и", "или", "не", "если … то", "тогда и только тогда" и др.
A и B |
Сейчас идет дождь и открыта форточка. |
A или не B |
Сейчас идет дождь или форточка закрыта. |
если A, то B |
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. |
не A и B |
Сейчас нет дождя и форточка открыта. |
A тогда и только |
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта |
тогда, когда B |
форточка. |
Логические
операции