1

Избранные разделы курса

l-й семестр

Лекция М 1

Тема: «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ».

я заметил, что необходимо ему (анализу) предпослать весьма много такого, что собст­венно к этому исчислению не относится, но изложения чего нигде нельзя найти; отсюда возникло это сочинение как введение в исчис­ление бесконечно малых.

Л Эйлер, письмо к ХГольдбаху, 1744г.

Элементы логики и интуитивной теории множеств

... я понимаю под основаниями математи­ки анализ основных математических понятий, проводимый с целью подготовки к изучению всего основанного на них здания математики с некоторой общей и единой точки зрения.

р. Столл, "Множества. Логика. Аксио­матические теории ". 1960г.

Союзы "и", "или", "если ... , то ... ", "тогда и только тогда, когда" и час­тица "не" (словосочетание "неверно, что") называются логическими или сентенциональными связками. Посредством логических операций из высказываний образуют составные высказывания.

В импликации А => В высказывание А называется антецедентом (от латинского antecedens - "предшествующий"), а высказывание В - кон­секвентом (consequens - "последующий"). Из определения импликации следует, что:

1. Импликация с ложным антецедентом всегда истинна;

2. Импликация с истинным консеквентом всегда истинна;

3. Импликация ложна тогда и только тогда, когда её антецедент - истинный, а консеквент - ложный.

2

Понятие множества является одним из основополагающих в математи­ческой науке и не подлежит определению. Однако, из методических сообра­жений мы всё-таки приведём соответствующее "наивное" определение. Со­гласно г. Кантора "множество есть любое собрание определённых и разли­чимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое".

Историческая справка. Теория множеств явилась абстрактным резуль­татом исследований немецкого математика Г. Кантора по таким важным раз­делам математического анализа, как числовые последовательности и триго­нометрические ряды.

Натуральные числа и принцип математической индукции

Здесь мы начнём с программного заявления немецкого математика Л.Кронекера, который в середине XIX века выразился так: "Господь Бог соз­дал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".

В начале ХХ века итальянский математик Дж. Пеано предложил ак­сиоматическое построение множества N U {О}, где N = {1, 2, 3, ... } - мно­жество натуральных чисел. Из трёх сформулированных им аксиом вытекают свойства сложения, умножения и линейного упорядочения натуральных чи­сел, точнее, элементов множества N U { О}. Кроме того, выводится следую­щее утверждение.

Каждое непустое подмножество множества N имеет наименьший эле-

мент.

На основании последнего доказывается

Принцип математической индукции. Пусть для каждого n Е N фор-

мулируется некоторое утверждение Р ( n ). Если истинны утверждение Р (1 )

и импликация Р ( n ) ~ р ( n + 1) , то утверждение Р ( n) истинно \::j n Е N .

Бином Ньютона

Теорема Пусть а и Ь - любые действительные числа и n = 2,3, ....

Имеет место разложение:

n

(а+ЬУ = LС~аП-kЬk,

k=O

(1)

где

C^k = n!

11 k! (n - k)!

(2)

(Напомним, что по определению полагают l! = 1, а также О! = 1.) ДQ~:::!1:::!'I~П:Р.fI13_Q. Воспользуемся методом математической индукции.

2

3

Убедимся сначала, что формула (1) справедлива при n = 1. Действи­тельно, так как

(а+ЬУ=а+Ь

и c~ = 1, С: = 1, то

I

(а + Ь)' = I C~al-kbk.

k=O

Покажем теперь, что равенство (1) влечёт за собой равенство

11+1

(а + ьу+1 = I C~+I a¹¹+^I-^kЬ^k• k=O

Действительно, если имеет место (1), то

11

(а + ьу+1 = (а + Ь)(а + ЬУ = (а + Ь) I c~ a¹¹-^kb^k

k=O

11 11

I c~ a¹¹+^I-^kЬ^k + I c~ a¹¹-^kь^к+¹

k=O k=O

Обозначим

11

S = ~ C^k a¹1+I-^kЬ^k

I ~ 11 ,

k=O

11

S2 = I c~ a¹¹-^kb^k+¹

k=O

Записывая вторую сумму в виде

11+1

S2 = I C~-I а 11+I-^kb^k,

k=1

получим:

S, + S2 = (с: а"" + t с; аН' 'b^k) + ( t с;-' а'+'-'Ь" + с; Ь^Н') =

11

= а 11+1 + I (c~ + C~-I) a¹1+I-^kЬ^k + ЬП+I .

k=1

Остаётся воспользоваться непосредственно проверяемым равенством

^k Ck I C^k k)

11 + n - = п+] (1::;; ::;; n . В результате получаем:

n

а + Ь)11+1 = а 11+1 + ~ C^k

~ 11+1 k=1

что и требовалось доказать.

Числа C~ (k = 0,1, ... , п) называются биномиальными коэффициен-

тами.

3

_C

₍

4 Если в (1) положить а = Ь = 1, то получим равенство c~ + c~ + ... + C~ = 2^П• (6) Оно связывает между собой все биномиальные коэффициенты при ка­ждом фиксированном показателе степени n и замечательно, например, тем, что даёт ответ на вопрос о числе всех подмножеств множества, со­стоящего из n элементов. Действительно, из комбинаторики известно, что c~ есть число всех k - элементных подмножеств такого множества (число всевозможных сочетаний из n элементов по k (О::; k ::; п) ). Равенство (6) означает, что число всех подмножеств такого множества (включая и пустое множество 0) равно 2^П• (Соответствующий результат, естественно, без учёта 0 был получен в середине ХУI в. итальянским математиком Дж. Кардано.) Отображения множеств Определение 1. Пусть Х и У - два произвольных множества. Если каждому элементу х Е Х по не которому правилу f поставлен в соответст­вие единственный элемент у Е У, то говорят, что задано отображение мно­жества Х в множество У и пишут [: Х ~ у . Элемент у, соответствующий элементу х , называется его образом и обозначается символом [(х). Элемент х называется про об разом элемен­та у. Говорят также, что f отображает Х в У. Традиционной записью отображения является у = [(х) , а также более короткая: [(х). Множество Х называется областью определения отображения Г. Множество всех тех элементов у Е У, каждый из которых является образом некоторого элемента х Е Х, называется множеством значений этого ото­бражения и обозначается символом [(Х). ДЛЯ абстрактной иллюстрации рас- сматриваемого понятия пользуются диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис.l).			~y,-
			/		"
		/
		(				\
Х		I		f(X)			\
			•..				I
х			У			/
		\			/
			-,	- ---

Рис. 1

4