Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

D3

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
07.06.2015
Размер:
754.33 Кб
Скачать

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

«ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ»

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучаются

взаимосвязь механического движения материальных тел и механического взаимодействия между ними.

Механическое взаимодействие – такое взаимодействие, при котором тела изменяют или стараются изменить характер механического движения друг друга.

Кхарактеристикам (силовым), описывающим механическое взаимодействие, относятся: сила, пара сил и распределенная нагрузка. При применении различных методик решения задач динамики используются также понятия момента силы относительно точки или оси, работы силы или пары сил, импульса силы и, наконец, понятие обобщенной силы.

Кхарактеристикам (инерциальным), определяющим связь между кинематическими и силовыми характеристиками, относятся: масса тела и момент инерции тела относительно оси. При применении различных методик решения задач динамики используются также понятия кинетической энергии

тела, количества движения тела и кинетического момента тела относительно центра или оси.

Кэтим же характеристикам можно отнести и понятие силы инерции материальной точки, а также – главного вектора и главного момента сил инерции точек тела.

Аксиомы динамики – законы Галилея-Ньютона (для материальной точки)

I Закон инерции. Если на материальную точку не

V

действуют силы или

действует уравновешенная система FN

F1

сил, то точка сохраняет состояние покоя или равномерного

 

прямолинейного движения.

 

 

FK a

II

Основной

закон

динамики.

(Закон

R

 

пропорциональности

силы и

ускорения.) Ускорение,

Рис. 1

получаемое материальной точкой под действием заданной силы, пропорционально силе и направлено вдоль нее (рис. 1):

ma F .

III Закон равенства действия и противодействия. Каждому механическому воздействию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

IV Принцип суперпозиции (Закон независимости действия сил).

Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

Ускорение, получаемое точкой при одновременном действии нескольких сил, равно сумме ускорений, получаемых этой точкой под действием каждой из этих сил независимо от остальных.

Совместное использование основного закона динамики и принципа суперпозиции позволяет сформулировать основное уравнение динамики материальной точки:

ma Fk .

Определение: Системы отсчета, в которых выполняются две первые аксиомы динамики, называются инерциальными.

Практически для любых инженерных расчетов систему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной.

Две задачи динамики (для материальной точки)

I Прямая: Известно, как движется точка (заданы уравнения движения точки) и ее масса. Определить причины этого движения (силовые или инерциальные параметры).

II Обратная: Известно механическое воздействие (силовые параметры) на материальную точку и её масса. Зная начальные условия движения, определить, как движется точка, то есть найти уравнения движения материальной точки.

Начальные условия движения материальной точки задают положение материальной точки и её скорость в начальный момент времени.

Решение обратной задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения материальной точки (второго порядка), полученных из основного уравнения динамики.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

 

 

N

 

 

1 При векторном способе задания движения точки: m r

Fk .

 

 

k 1

2 При координатном способе задания движения точки:

 

N

 

 

 

m x

Fkx ;

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

N

 

 

 

m y

Fky ;

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

N

 

 

 

m z

Fkz .

 

 

 

k 1

3При естественном способе задания движения точки:

N

Fk ;m s

 

k 1

2

N

m( s )

Fkn .

 

k 1

 

При решении обратных задач для материальной точки, а также при решении любых задач для более сложных объектов исследования (для механической системы) используются:

Общие теоремы динамики (для механической системы)

Определение: Механической системой называется совокупность материальных точек (или тел), положение и движение каждой из которых зависит от положения и движения остальных.

Определение: Внутренними называются силы взаимодействия между материальными точками (телами) рассматриваемой системы.

Определение: Внешними силами называются силы, с которыми материальные точки (или тела), входящие в механическую систему, взаимодействуют с материальными точками (или телами), не входящими в неё.

Определение: Центром масс механической системы называется геометрическая точка, положение которой определяется выражением:

 

N

_

 

_ mk r k

rC

k 1

 

,

 

 

 

 

M

N

где М = mk – масса системы.

k 1

Теорема о движении центра масс:

Произведение массы механической системы на вектор ускорения её центра масс равно векторной сумме всех внешних сил, приложенных к ней.

_ N _ e

M aC F k .

k 1

Определение: Количество движение материальной точки равно произведению массы точки на вектор её скорости.

_ _

q mV .

Определение: Количество движения механической системы равно сумме количеств движения всех точек, входящих в систему .

_ N _

Q mk V k .

k 1

Определение: Импульс силы равен определенному интегралу от вектора силы, взятому в пределах времени её действия.

_ t1 _

S F dt .

t0

Определение: Импульс постоянной силы равен произведению вектора силы на время её действия.

_ _

t0 ) .

S F( t1

Теорема об изменении количества движения:

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов, вычисленных за тот же промежуток времени, всех внешних сил, приложенных к ней.

_ _

N _ e

Q Q0

S k .

k 1

Определение: Кинетический момент механической системы относительно любого центра O равен сумме моментов количеств движения всех материальных точек относительно этого центра.

n

LZ Lkz . k 1

Определение: Кинетическим моментом механической системы относительно оси (или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси) называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этой оси.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси его вращения, например оси z, определяется формулой:

Lz =Jz ,

где Jz момент инерции тела относительно оси вращения; – его угловая скорость.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

Jz =JzC + md2 .

Осевые моменты инерции однородных пластинок приведены в табл. 1.

Осевые моменты инерции однородных пластинок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx

 

 

 

Jy

 

 

 

 

Jz

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

mR2

 

 

 

 

mR2

 

 

 

 

mR2

 

 

 

 

y

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

r

y

 

 

m( R2 r 2 )

 

 

m( R2 r 2 )

 

 

m( R2 r 2 )

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

b

 

 

m( a2 b2 )

 

 

 

mb2

 

 

 

ma2

x

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

y

 

 

 

ml2

 

0

 

 

 

 

 

ml2

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

l

l

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема об изменении главного кинетического момента:

Первая производная по времени от главного кинетического момента механической системы относительно любого центра O равна векторной сумме моментов относительно того же центра O всех внешних сил, приложенных к ней.

_

_ e

N _

d LO M O (F k ) . dt k 1

Определение: Кинетическая энергия материальной точки (поступательно движущегося тела) равна полупроизведению массы точки (тела) на квадрат её (его) скорости.

T 0,5mV 2 .

Определение: Кинетическая энергия вращающегося тела равна полупроизведению момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

T 0,5JO 2 .

Определение: Кинетическая энергия тела, движущегося плоскопараллельно, равна сумме полупроизведения массы тела на квадрат скорости его центра

масс и полупроизведения момента инерции тела относительно центральной оси на квадрат угловой скорости тела.

T 0,5mVC2 0,5JC 2 .

Определение: Работа силы равна криволинейному интегралу от вектора силы, вычисленному в пределах перемещения её точки приложения.

M1

A FdS .

M 0

Теорема об изменении кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии неизменяемой механической системы на некотором её перемещении равно алгебраической сумме работ, вычисленных на этом перемещении, всех внешних сил, приложенных к ней.

N

T T0 Ake .

k 1

Частные случаи: 1 Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения, т.е. произведению модуля силы на перемещение её точки приложения и на косинус угла между вектором силы и направлением перемещения её точки приложения (рис. 2) A F u Fucos .

F

u

Рис. 2

2 Работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на изменение (уменьшение) вертикальной координаты.

A mgh .

3 Работа пары сил, приложенной к телу, равна произведению момента пары сил на угол поворота тела.

A M .

ЗАДАЧА D3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Условие задачи D3: Механическая система состоит из: (рис. D3.1 - 6)

ступенчатого шкива B, однородного катка D и грузов A и K или

(рис. D3.7 - 10), табл. 3

ступенчатых шкивов B и E ; груза A и однородного катка D.

Радиусы ступеней шкивов: RB = 0,4 м; rB = 0,3 м; RE = 0,3 м; rE = 0,2 м; Массы ступенчатых шкивов B и E считаем равномерно распределенными по их внешним ободам.

Оси ступенчатых шкивов О и О1 закреплены неподвижными цилиндрическими шарнирами. Точка С – центр масс однородного цилиндрического катка D .

Тела системы соединены друг с другом невесомыми нерастяжимыми нитями, намотанными на ступени шкивов так, как показано на рисунках табл. 15 . Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Угол 300 . Под действием силы F = f(s), приложенной к грузу A вдоль направления его движения и зависящей от перемещения s ее точки приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив B

действует пара сил с постоянным

моментом сопротивления, равным М.

Значения М и F = f(s) заданы в табл. 2.

 

Определить скорость груза

A

в тот момент времени, когда

перемещение точки приложения силы F равно s1.

Таблицы исходных данных и рисунков задачи D3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

mA(кг)

mB(кг)

mD(кг)

mE(кг)

mK(кг)

f

F=F(s)(Н)

M()

s1(м)

 

0

35

2,0

1,0

2,5

1,5

0,1

10(5+s)

2

0,5

 

1

40

1,0

2,0

2,0

1,4

0,2

15(2+5s)

4

1,5

 

2

50

2,5

3,0

2,0

1,2

0,18

20(3+2s)

5

1,1

 

3

45

2,0

1,5

1,0

1,0

0,11

30(4+3s)

3

1,2

 

4

50

3,5

2,0

1,5

1,8

0,12

40(5+4s)

6

0,8

 

5

45

4,0

3,5

2,0

1,2

0,13

10(6+2s)

4,5

0,6

 

6

35

4,5

2,0

2,5

1,1

0,14

25(2+3s)

3,5

0,7

 

7

40

1,5

1,0

2,0

1,6

0,15

50(3+s)

2,5

0,9

 

8

50

2,0

1,5

1,5

1,4

0,16

35(7+2s)

5,5

1,1

 

9

40

3,0

1,0

1,0

1,6

0,17

45(3+8s)

7

0,6

 

Таблица 3

Рис.Д3.0

Рис.Д3.1

 

Рис.Д3.2

Рис.Д3.3

 

Рис.Д3.4

Рис.Д3.5

 

Рис.Д3.6

Рис.Д3.7

Рис.Д3.8

Рис.Д3.9

Пример решения задачи Д3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4

mA(кг)

mB(кг)

mD(кг)

mE(кг)

mK(кг)

f

F=F(s)(Н)

M(Hм)

s1(м)

 

пример

5

10

20

25

 

0,1

10(1+8s)

2

1,5

 

М.

Рис. 3

Указания к решению задачи Д3

При определении кинематических характеристик механической системы можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии системы.

Решение:

1. Для того чтобы определить скорость груза A, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы, состоящей из тел A, B, E и D (рис. 3), на том её перемещении, когда точка приложения силы F проходит расстояние S1:

T T0

A(FKe ) .

(1)

Так как в начальный момент времени механическая система находилась в покое, то её начальная кинетическая энергия равна нулю, то есть: T0 = 0.

2. Определим кинетическую энергию механической системы в конце

перемещения:

 

T = TA + TB + TE. + TD.

(2)

Определим кинетическую энергию элементов механической системы:

TA = 0,5mAV 2A ; TB = 0,5 JB B2

; TE = 0,5 JE E2

; TD = 0,5mDVc2

+0,5JD D2 .(3)

Определим моменты инерции, входящие в выражения (3):

 

J

B

m R2 ,

J

E

m R2 ;

J

D

0, 5m R2 .

(4)

 

B B

 

E E

 

 

D D

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]