МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

« ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ »

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИПОННЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра математических методов в экономике

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

________Петренко С.В.

Курсовая работа

по дисциплине экономико-математические методы

на тему: «Метод дифференциальных рент»

Выполнил:

студент 4-го курса

группы ПИЭ-09-2(1)

Столяренко К.В.

Научный руководитель:

доц., к.т.н. С.В. Петренко

Липецк, 2013

Содержание

Введение……………………………………………………………….…….….3

1. Теоретическая часть........................................................................................4

1.1. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели........4

1.2. Метод дифференциальных рент........................................................6

2. Практическая часть........................................................................................13

2.1. Решение задачи с помощью математического аппарата.................13

2.2. Решение задачи с помощью прикладных программ........................18

2.2.1 Технология разработки формы для ввода исходных данных средствами VBA………………………………………………………….18

2.2.2 Описание процесса решения………………………………..19

Заключение……………………………….……………….................................21

Литература …………………………………..………………………. ...............22

Приложение 1. Листинг модуля Excel..............................................................23

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного курсового проекта: «Формирование оптимального штата фирмы». Данная работа посвящена изучению теоретических вопросов, связанных с этой темой, а также созданию программного продукта, необходимого для автоматизации работы сотрудников фирмы, которые занимаются подбором кадрового состава предприятия.

Проблема формирования оптимального штата фирмы не утратила своего значения и в наши дни, а даже наоборот приобрела еще большую значимость и актуальность, потому что с каждым днем открывается все больше и больше предприятий, разных по масштабу и количеству рабочих мест. А для того, что бы все они работали более эффективно, не тратили лишних денежных средств, а наоборот давали хорошую прибыль необходимо как можно серьезнее относится к подбору штата сотрудников.

Решение данной проблемы было сформулировано и решено еще в 1941 г. Ф. Хичкоком, но до сих пор не было автоматизировано.

Объектом исследования являются задачи линейного программирования, а предметом – транспортные задачи.

Целью проекта является автоматизация процесса решения задач формирования оптимального штата фирмы. Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

• изучить предметную область;

• разобрать методы решения задач, а именно решение транспортных задач;

• рассмотреть принципы использования прикладных программ для расчета основных характеристик модели задачи формирования оптимального штата фирмы;

• разобрать приложение, позволяющее автоматизировать процесс решения задачи курсового проекта.

1 Теоретическая часть

1.1 Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели

Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем, чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.

Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, однако ее специфическая структура позволяет так модифицировать симплекс-метод, что вычислительные процедуры становятся более эффективными. При разработке метода решения транспортной задачи существенную роль играет теория двойственности.

В классической транспортной задаче рассматриваются перевозки (прямые или с промежуточными пунктами) одного или нескольких видов продукции из исходных пунктов в пункты назначения. Эту задачу можно видоизменить, включив в нее ограничения сверху на пропускные способности транспортных коммуникаций. Задачу о назначениях и задачу управления запасами можно рассматривать как задачи транспортного типа. Существует несколько разновидностей экономических задач, сводящихся к транспортной модели:

• оптимальное распределение оборудования;

• формирование оптимального штата фирмы;

• задача календарного планирования производства;

• оптимальное исследование рынка;

• оптимальное использование рабочих агентов;

• задача размещения производства;

• задача о назначениях.

Задача формирования оптимального штата фирмы в общем виде формулируется следующим образом.

Фирма набирает штат сотрудников. Она располагает n группами различных должностей по bj вакантных единиц в каждой группе, j = 1,…,n. Кандидаты для занятия должностей проходят тестирование, по результатам которого их разделяют на m групп по аi кандидатов в каждой группе, i = 1,…,m. Для каждого кандидата из i-ой группы требуются определенные затраты Cij на обучение для занятия j-ой должности, i=1,…,m; j=1,…,n. (В частности, некоторыеCij = 0, т.е. кандидат полностью соответствует должности, илиCij = ∞ (Cij = M), т.е. кандидат вообще не может занять данную должность.) Требуется распределить кандидатов на должности, затратив минимальные средства на их обучение. Предположим, что общее число кандидатов соответствует числу вакантных должностей. Тогда данная задача соответствует транспортной модели. В роли поставщиков выступают группы кандидатов, а в роли потребителей – группы должностей. В качестве тарифов на перевозки рассматриваются затраты на переобучение. Математическая модель записывается в виде:

1.2 Метод дифференциальных рент для решения транспортной задачи

Для решения транспортных задач используется несколько методов. Рассмотрим решение с помощью метода дифференциальных рент.

При нахождении решения транспортной задачи методом дифференциальных рент сначала наилучшим образом распределяются между пунктами назначения часть груза (так называемое условно оптимальное распределение) и на последующих интерациях постепенно уменьшают общую величину нераспределенных поставок. Первоначальный вариант распределения груза определяют следующим образом. В каждом из столбцов таблицу данных транспортной задачи находят минимальный тариф. Найденные числа заключают в кружки, а клетки, в которых стоят указанные числа, заполняют. В них записывают максимально возможные числа. В результате получают некоторое распределение поставок груза в пункты назначения. Это распределение в общем случае не удовлетворяет ограничениям исходной транспортной задачи. Поэтому в результате последующих шагов следует постепенно сокращать нераспределенные поставки груза так, что бы при этом общая стоимость перевозок оставалась минимальной. Для этого сначала определяют избыточные и недостаточные строки.

Строки, соответствующие поставщикам, запасы которых полностью распределены, а потребности пунктов назначения, связанных с данными потребителями запланированными поставщиками, не удовлетворены, считаются недостаточными. Эти строки иногда называют также отрицательными. Строки, запасы которых исчерпаны не полностью, считаются избыточными. Иногда их также называют положительными.

После того как определены избыточные и недостаточные строки, для каждого из столбцов находят разности между числом в кружке и ближайшем к нему тарифом, записанным в избыточной строке. Если число в кружке находится в положительной строке, то разность не определяют. Среди полученных чисел находят наименьшее. Это число называется промежуточной рентой. После определения промежуточной ренты переходят к новой таблице. Эта таблица получается из предыдущей таблицы прибавлением к соответствующим тарифам, стоящим в отрицательных строках, промежуточной ренты. Остальные элементы остаются прежними. При этом все клетки новой таблицы считают свободными. После построения новой таблицы начинают заполнение ее клеток. Теперь уже число заполняемых клеток на одну больше, чем на предыдущем этапе. Эта дополнительная клетка находится в столбце, в котором была записана промежуточная рента. Все остальные клетки находятся по одной в каждом из столбцов и в них записаны наименьшие для данного столбца числа, заключенные в кружки. Заключены в кружки и два одинаковых числа, стоящих в столбце, в котором в предыдущей таблице была записана промежуточная рента.

Поскольку в новой таблице число заполняемых клеток больше, чем число столбцов, то при заполнении клеток следует пользоваться специальным правилом, которое состоит в следующем. Выбирают некоторый столбец (строку), в котором имеется одна клетка с помеченным в ней кружком. Эту клетку заполняют и исключают из рассмотрения данный столбец (строку). После этого берут некоторую строку (столбец), в которой имеется одна клетка с помещенным в ней кружком. Эту клетку заполняют и исключают из рассмотрения данную строку (столбец). Продолжая так, после конечного числа шагов заполняют все клетки, в которых помещены кружки с заключенными в них числами. Если к тому же удается распределить весь груз, имеющийся в пунктах отправления, между пунктами назначения, то получают оптимальный план транспортной задачи. Если же оптимальный план не получен, то переходят к новой таблице. Для этого находят избыточные и недостаточные строки, промежуточную ренту и на основе этого строят новую таблицу. При этом могут возникнуть некоторые затруднения при определении знака строки, когда ее нераспределенный остаток равен нулю. В этом случае строку считают положительной при условии, что вторая заполненная клетка, стоящая в столбце, связанном с данной строкой еще одной заполненной клеткой, расположена в положительной строке.

После конечного числа описанных выше интераций нераспределенный остаток становится равным нулю. В результате получают оптимальный план данной транспортной задачи.

Описанный выше метод решения транспортной задачи имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод потенциалов. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных транспортных задач с использованием ЭВМ применяется метод дифференциальных рент.

Пример решения задачи.

Для транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл. 1.2.1, найти оптимальный план методом дифференциальных рент.

Таблица 1.2.1 Исходные данные транспортной задачи

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	7	12	4	8	5	180
А2	1	8	6	5	3	350
А3	6	13	8	7	4	20
Потребности	110	90	120	80	150	550

Решение. Перейдем от табл. 1.2.1 к табл. 1.2.2, добавив один дополнительный столбец для указания избытка и недостатка по строкам и одну строку для записи соответствующих разностей.

Таблица 1.2.2 Избытки и недостатки

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы	Недостаток(-), Избыток(+)
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	7	12	4 120	8	5	180	+60
А2	1 110	8 90	6	5 80	3 70	350	-80
А3	6	13	8	7	4	20	+20
Потребности	110	90	120	80	150	550
Разности	5	4	–	2	1

В каждом столбце табл. 1.2.2 находим минимальные тарифы и обводим их кружками. Заполняем клетки, в которых стоят указанные числа. Для этого в каждую из клеток записываем максимально допустимое число. Например, в клетку, находящуюся на пересечении строки А₁ и столбца В₃, записываем число 120. В эту клетку нельзя поместить большее число, поскольку в таком случае были бы превышены потребности пункта назначения В₃.

В результате заполнения отмеченных выше клеток получен так называемый условно оптимальный план, согласно которому полностью удовлетворяются потребности пунктов назначения В₁, В₂, В₃и В₄и частично – пункта назначения В₅. При этом полностью распределены запасы пункта отправления А₂, частично – пункта отправления А₁и остались совсем нераспределенными запасы пункта отправления А₃.

После получения условно оптимального плана определяем избыточные и недостаточные строки. Здесь недостаточной является строка А₂, так как запасы пункта отправления А₂полностью использованы, а потребности пункта назначения В5 удовлетворены частично. Величина недостатка равна 80 ед.

Строки А₁и А₃являются избыточными, поскольку запасы пунктов отправления А₁и А₃распределены не полностью. При этом величина избытка строки А₁равна 60 ед., а строки А₃– 20 ед. общая величина избытка 60+20=80 совпадает с общей величиной недостатка, равной 80.

После определения избыточных и недостаточных строк по каждому из столбцов находим разности между минимальными тарифами, записанными в избыточных строках, и тарифами, стоящими в заполненных клетках. В данном случае эти разности соответственно равны 5,4,2,1 (табл. 1.2.2). Для столбца В₃разность не определена, так как число, записанное в кружке в данном столбце, находится в положительной строке. В столбце В₁число, стоящее в кружке, равно 1, а в избыточных строках в клетках данного столбца наименьшим является число 6. Следовательно, разность для данного столбца равна 6-1=5. Аналогично находим разности для других столбцов: для В₂12-8=4; для В₄7-5=2; для В₅4-3=1.

Выбираем наименьшую из найденных разностей, которая является промежуточной рентой. В данном случае промежуточная рента равна 1 и находится в столбце В₅. Найдя промежуточную ренту, переходим к табл. 1.2.3

Таблица 1.2.3 Промежуточная рента

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы	Недостаток(-), Избыток(+)
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	7	12	4 120	8	5	180	+60
А2	2 110	9 90	7	6 80	4 70	350	-60
А3	6	13	8	7	4 20	20	-0
Потребности	110	90	120	80	150	550
Разности	5	3	–	2	1

В данной таблице в строках А₁и А₃(являющихся избыточными) переписываем соответствующие тарифы из строк А₁и А₃табл. 1.2.2. элементы строки А₂(которая была недостаточной) получаются в результате прибавления к соответствующим тарифам, находящимся в строке А₂табл. 1.2.2, промежуточной ренты, т.е. 1.

В таблице 1.2.3 число заполняемых клеток возросло на одну. Это обусловлено тем, что число минимальных тарифов, стоящих в каждом из столбцов данной таблицы, возросло на единицу, а именно в столбце В₅теперь имеются два минимальных элемента 4. Эти числа заключаем в кружки; клетки, в которых они стоят, следует запомнить. Необходимо заполнить и клетки, в которых в которых стоят наименьшие для других столбцов тарифы. Это клетки табл. 1.2.3, в которых соответствующие тарифы заключены в кружки. После того как указанные клетки определены, устанавливаем последовательность их заполнения. Для этого находим столбцы (строки), в которых имеется лишь одна клетка для заполнения. Определив и заполнив некоторую клетку, исключаем из рассмотрения соответствующий столбец (строку) и переходим к заполнению следующей клетки. В данном случае заполнение клеток проводим в такой последовательности. Сначала заполняем клетки А₁В₃, А₂В₁, А₂В₂, А₂В₄, так как они являются единственными клетками для заполнения в столбцах В₁, В₂, В₃и В₄. После заполнения указанных клеток заполняем клетку А₃В₅, поскольку она является единственной для заполнения в строке А3. Заполнив эту клетку, исключаем из рассмотрения строку А₃. Тогда в столбце В₅останется все лишь одна клетка для заполнения. Это клетка А₂В₅, которую заполняем. После заполнения клеток устанавливаем избыточные и недостаточные строки. Как видно из табл. 1.2.3, еще имеется нераспределенный остаток. Следовательно получен условно оптимальный план задачи и нужно перейти к новой таблице. Для этого по каждому их столбцов находим разности между числом, записанным в кружке данного столбца, и наименьшим по отношению к нему числом, находящимся в избыточных строках. Среди этих разностей наименьшая равна 1. Это и есть промежуточная рента. Переходим к следующей таблице (табл. 1.2.4).

Таблица 1.2.4 Оптимальный план транспортной задачи

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы	Недостаток(-), Избыток(+)
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	7	12	4 120	8	5 60	180	0
А2	3 110	10 90	8	7 80	5 70	350	0
А3	7	14	9	8	5 20	20	0
Потребности	110	90	120	80	150	550

В новой таблице элементы строк А₂и А₃получены в результате прибавления к соответствующим числам строк А₂и А₃(являющихся недостаточными) табл. 1.2.3 промежуточной ренты, т. е 1. В результате в табл. 1.2.4 число клеток ля заполнения возросло еще на одну и стало равным 6. Определяем указанные клетки и заполняем их. Сначала заполняем клетки А₁В₃, А₂В₁, А₂В₂, А₂В₄, а затем А₃В₅, А₂В₅, А₁В₅. В результате все имеющиеся запасы поставщиков распределяются в соответствии с фактическими потребностями пунктов назначения. Число заполненных клеток равно 7, и вес они имеют наименьший показатель C_ij. Следовательно получен оптимальный план исходной транспортной задачи:

X=

При этом плане перевозок общие затраты таковы:

S=4*120+5*60+1*110+8*90+5*80+3*70+4*20=2300.