Глава 1. Основные первоначальные понятия и теоремы

§1. Предмет теории вероятности.

Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменном комплексе условий произвольное число раз. Любой наблюдаемый в ходе эксперимента результат интерпретируется как случайный исход опыта, т.е. истолковывается как случайное событие. Под множеством элементарных исходов понимается множество взаимоисключающих исходов такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

Обозначим через Е множество всех случаев, связанных с опытом, а отдельные случаи (элементарные исходы) обозначим через е_i (i = 1,2, …, n).

Будем записывать Е = {e₁, e₂, …, e_n}. Если событие А наступает, когда имеет место какой-либо случай из Е, то говорят, что этот случай благоприятствует событию А. Таким образом, событие А можно отождествить со множеством благоприятствующих ему элементарных исходов. Поэтому также говорят, что событие А произошло, если результатом эксперимента явился элементарный исход, принадлежащий А.

Событие, совпадающее с пустым множеством О, называется невозможным событием, а событие, совпадающее совсем множеством событий Е, называется достоверным. Два события А и В называются совместными, если в результате эксперимента возможно их совместное осуществление. События А и В называются несовместными, если в результате эксперимента их совместное появление невозможно.

§2. Алгебраические операции над событиями.

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. В частности определены следующие операции:

А  В (множество А включено в множество В) – событие А влечет за собой событие В (иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие А);

А = В – событие А тождественно событию В (это возможно только в том и только в том случае, когда А  В и одновременно В  А);

А + В – сумма событий, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А или В;

А – В – разность событий, которое состоит в том, что А происходит, а событие В не происходит.

Определение 1. Комплекс условий S и множество IM всех возможных событий с введенными на нем алгебраическими операциями называется пространством событий и обозначается (S, IM)

§3 Непосредственное вычисление вероятностей

Классическое определение вероятностей случайного события связано с испытанием, организованным следующим образом:

1. Испытание содержит конечное число исходов;

2. Все исходы испытания равновозможны, т.е. происходят одинаково часто, если число испытаний велико;

3. Любые два исхода не могут произойти одновременно (исходы несовместны).

Пусть Е множество всех случаев е_i (i = 1, 2, …, n), связанных с некоторым опытом, т.е. Е = {e₁, e₂, …, e_n}. Итак, имеем всего случаев n. Пусть далее событию А благоприятствуют m случаев из n.

Определение 2. Вероятностью события А называют отношение числа случаев, благоприятствующих А, к общему числу случаев.

Вероятность события А обозначается P(A). Таким образом, согласно данного определения

(1)

Это определение вероятности называется классическим.

Теорема. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Доказательство. Число m случаев, благоприятствующих любому событию, не может быть отрицательным и большим, чем их общее число n, т.е. 0  m  n. Разделив это неравенство почленно на n, получим

или, учитывая равенство (1), 0 < P(A) < 1.

Если событие А достоверное, то m = n и тогда P(A) = 1. Таким образом, вероятность достоверного события равна единице. Если событие А невозможное, то m = 0 и тогда из (1) следует P(A) = 0. Вероятность невозможного события равна нулю.