02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 3
.pdfЛекция №3 Тема 2. Топологическое описание схем электрических сетей. Применение
матричных описаний и табличных структур в алгоритмах решения задач анализа режимов электрических сетей.
2.1. Алгоритмы определения дерева и хорд графов схем замещения электрических сетей.
Для обобщенного анализа рабочих режимов сложных линейных схем за-
мещения целесообразно пользоваться некоторыми представлениями из топо-
логической теории графов. Ниже в кратком изложении даны лишь самые не-
обходимые из этих представлений. Практически наиболее существенной яв-
ляется возможность аналитического представления схемы замещения.
Граф определяет наличие функциональных связей между отдельными величинами. Наличие функциональной связи определяется ребром графа.
Каждое ребро имеет две вершины (концевых пункта), соответствующие свя-
зываемым величинам. Граф может содержать любое количество ребер и со-
ответствующее количество вершин. Любая часть графа является подграфом.
При решении задач определения рабочих режимов электрических сетей целесообразно исходить из заданного (обычно произвольно выбираемого)
направления ребер. Фиксированное направление каждого ребра является по-
ложительным для соответствующих величин - тока в нем, э.д.с. и т.п. Граф с фиксированными направлениями его ребер называется направленным.
Если одна из вершин одного ребра является одновременно вершиной второго ребра, а другая вершина этого второго ребра - вершиной третьего и т.
д., то соответствующий подграф (цепочка указанных ребер) образует путь графа. Если первая вершина первого ребра является в то же время второй вершиной последнего ребра данного пути графа, то этот путь графа явля-
ется замкнутым и образует контур.
Если в данном графе можно выбрать путь графа, который соединяет его любые две вершины, то этот граф является связанным; если нельзя - то не-
связанным.
Если ребра графа имеют фиксированные направления, то этот граф назы-
вается направленным. Каждое ребро направленного графа имеет начальную и конечную вершины; его направление принимается от первой вершины ко второй.
Из приведенных кратких сведений теории графов можно сделать за-
ключение о том, что схема замещения электрической цепи и, в частности,
электрической сети может рассматриваться как граф. Схема замещения се-
ти обычно является связанным графом. Она состоит из ветвей (ребер), со-
единенных в узлы (вершины). Эти ветви образуют цепочки (пути графа),
которые могут быть замкнутыми, и превращаются при этом в замкнутые кон-
туры. Все величины, характеризующие состояние ветвей (токи, э. д. с,
напряжения), имеют определенное направление (без чего не может быть найден с достаточной полнотой рабочий режим данной схемы).
В связи с этим целесообразно каждой ветви схемы придать определенное
(произвольно выбранное) направление. Таким образом, схема замещения сети обычно является связанным, направленным графом, ребрами кото-
рого являются ветви, а вершинами – узлы.
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
4 |
||
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
Рис. 3-1 |
|
|
Рис. 3-2 |
На рис. 3-1 в виде связанного, направленного графа показана схема. На ней указаны выбранные направления ветвей, а также номера ветвей и узлов.
На рис. 3-2 изображена часть этой схемы - подграф (подсхема), являющийся несвязанным, так как, например, нет пути этого графа, которым были бы связаны вершины 1 и 3.
Одна из вершин связанного графа является опорной (базисным узлом
или узлом баланса). Если для двух подграфов опорная вершина является
общей и нет других общих вершин, то указанные подграфы пересекаются в общей вершине и граф называется разделяющимся. Это значит, что соответ-
ствующие подсхемы могут рассматриваться независимо одна от другой.
Для узлов схем замещения характерными являются значения напряжений относительно какого-либо другого узла (падений напряжения); для ветвей схем замещениязначения токов и э.д.с, действующих в них. Поэтому уравнение связи для схем замещения в установившихся режимах представ-
ляет собой выражение в комплексной форме:
|
|
|
|
U Z I |
E |
(3.1) |
где U - напряжение на ветви, т. е. между начальной и конечной вер-
шинами ветви;
|
и |
|
- параметры ветви (соответственно пассивный и активный). |
Z |
E |
При изображении схем в виде графов нет надобности в специальных обо-
значениях сопротивлений и э.д.с: ребра (ветви) графически изображаются
(прямой или кривой) с указанием их направлений (рис. 3-1 и 3-2).
Таким образом, направление ветви от начальной вершины (узла) а к ко-
нечной, вершине (узлу) b одновременно является положительным направ-
|
|
|
|
|
|
лением и для всех участвующих величин — э. д. с. |
E , тока |
I |
и |
||
напряжения |
|
(рис.3-3). |
|
|
|
U |
|
|
|
Любая из этих вершин может получиться положительной или отрица-
тельной по отношению к принятому направлению.
|
E,I,U |
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимное сопротивление |
Z ij Z ji между ветвями i и j связывает вели- |
||||||
чины, характеризующие состояние самих ветвей: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ei Z ij I j и E j |
Z ji I i |
( 3 . 2 ) |
Связь ветвей взаимными сопротивлениями, не отражаясь графически и не являясь ребром графа, не может пропускать тока.
Наличие положительных направлений ветвей устраняет необходимость применения специальных обозначений для определения взаимного расположе-
ния ветвей, связанных взаимным сопротивлением. Если положительный ток
|
|
|
I j ветви j вызывает появление положительной э. д. с. |
E i |
в ветви i, то взаим- |
ное сопротивление Z ij между этими ветвями является положительным. При
этом положительный ток I i в ветви i вызывает появление положительной
э.д.с. |
|
в ветви j. Если положительный ток |
|
ветви j вызывает появле- |
E j |
I j |
ние отрицательной э.д.с. E i в ветви i, то взаимное сопротивление является
отрицательным. При этом положительный ток I i в ветви i также вызывает
появление отрицательной э.д. с. E j в ветви j.
Для характеристики связей, определяемых графом, пользуются матрич-
ными выражениями. В частности, эти связи можно представить уравнением,
записанным для всей схемы в обобщенном виде:
|
|
|
|
|
U B Z B I |
E |
(3.3) |
Существенно, что эта запись остается справедливой для любого направленного графа, которым представляется схема замещения.
Таким образом, выбор направления для всех ветвей схемы определяет знаки для всех параметров схемы и параметров ее рабочего режима. Приме-
нение элементов теории графов позволяет еще более рационализировать обобщенные записи математических соотношений и аналитическое решение задач.
Нетрудно установить зависимость между числом ветвей, узлов и не-
зависимых контуров в связанном графе. Если одно ребро имеет две верши-
ны, то присоединение каждого следующего ребра только одной вершиной приводит к увеличению числа вершин графа на единицу. При этом в схеме не могут появляться замкнутые контуры. Если какое-либо новое ребро присо-
единяется одновременно обеими вершинами, то число узлов остается неиз-
менным, но возникает один независимый замкнутый контур. Таким образом,
число в ветвей всегда на единицу меньше суммы из числа у` узлов и числа
к независимых контуров схемы:
в=y-1+k |
(3.4) |
На рис. 3-1 в виде графа показана схема, на которой указаны номера ветвей и узлов. Узел 4 принят за узел баланса. В данном случае схема со-
держит пять ветвей, четыре узла и два независимых контура. Подставляя
эти величины в указанное выражение, получаем |
|
5=4+2-1 |
(3.5) |
Поскольку один из узлов является зависимым, то число в ветвей всегда равно сумме из числа у независимых узлов и числа к независимых замкнутых контуров:
в=y+k |
(3.6) |
что подтверждает выражение (3.6). 1
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
3 |
3
Рис. 3-4
В разомкнутой схеме при отсутствии замкнутых контуров (к=0 ) чис-
ло в ветвей равно числу у независимых узлов.
Так, на рис. 3-4 показана разомкнутая схема, полученная из замкнутой
(см. рис. 3-1) путем исключения ветвей 4 и 5. Число ее ветвей (три) рав-
но числу независимых узлов (три).
Втеории графов число независимых вершин называется рангом графа,
ачисло независимых контуров (замкнутых) — числом связанности.