Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
63
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
245.88 Кб
Скачать

Лекция №13

3.2. Основные положения и алгоритмы применения корреляционно-

го и регрессионного анализа в электроэнергетике.

Случайные процессы в энергетике связаны в первую очередь с ме-

теорологическими условиями. К числу таких процессов можно отнести из-

менения располагаемой мощности и энергии гидростанций, зависящие от проточности рек; изменения суммарного спроса мощности и энергии в энер-

госистемах, зависящие как от изменения температуры наружного воздуха,

так и от других факторов. Случайные процессы в энергетике могут быть свя-

заны также с потоками однородных событий, таких, как возникновение ава-

рий, окончание аварийных ремонтов и т. п.

Вероятностные методы определения закономерностей, характеризующих случайные процессы в энергетике, пока только разрабатываются; естественно,

что методики использования их еще нет, если не считать применения метода Монте—Карло и теории массового обслуживания, рассматриваемых далее.

Перейдем к определению количественных характеристик случайного про-

цесса. Для каждого конкретного значения времени t случайный процесс харак-

теризуется некоторой случайной величиной, которая называется сечением слу-

чайного процесса.

Если фиксируется определенное значение времени t то случайный про-

цесс превращается в случайную величину (сечение случайного процесса), если же фиксируется определенный конкретный опыт, то случайный процесс превращается в неслучайную функцию времени (реализация случайного про-

цесса). Таким образом, случайный процесс представляет собой бесконечное множество случайных величин или бесконечное множество неслучайных функций времени.

Случайные величины, представляющие собой сечения случайного процесса,

являются зависимыми величинами, т. е. имеют корреляционную связь. В

этой связи и заключается единство процесса.

M[ X (t)]

Естественно, что для случайного процесса в силу сказанного невозможно найти общий закон распределения вероятности. Тем не менее количествен-

ные характеристики случайного процесса могут быть получены на основании достаточно большого числа опытов, т. е. на основании статистической обра-

ботки большого числа реализаций.

Обозначим величину, характеризующую случайный процесс, через X (t).

М. о. случайного процесса — это м. о. всех его сечений, в отличие

от случайной величины является не конкретной величиной, а конкретной функцией времени. Если обозначить м. о. сечения процесса для данного

значения t через mx (t) , то очевидно, что

M[ X (t)] mx (t)

(13.1)

Таким образом, искомая неслучайная функция времени

M[ X (t)] мо-

жет быть получена следующим образом. Для каждого значения времени путем статистической обработки наблюдений случайных значений находится кон-

кретная величина mx, равная м. о. случайной величины, которая наблюда-

лась при данном значении t. Совокупность всех значений mx для всех зна-

чений t и определяет м. о. случайного процесса в виде функции времени. Ана-

логично могут быть определены значения дисперсии и стандартного отклоне-

ния:

D[ X (t)] Dx (t)

(13.2)

[ X (t)] x (t)

(13.3)

Обе эти величины являются также неслучайными функциями времени и определяются для каждого момента времени сечения на основании обработки наблюдений за значениями случайной величины, в которую превращается процесс при данном конкретном значении t.

Значений м. о. и дисперсии случайного процесса недостаточно для пол-

ной характеристики процесса, так как отдельные сечения процесса имеют корреляционные связи, т. е. не являются независимыми случайными величи-

нами. Для полной характеристики случайного процесса нужно знать еще

одну величину — так называемую корреляционную функцию процесса, кото-

рая представляет собой м. о. произведения центрированных значений двух случайных величин для произвольных конкретных значений времени t и t`. Обозначая корреляционную функцию для моментов времени t и t` че-

рез К х (t,t , ) , из определения получаем

 

 

 

 

 

 

К

х

(t,t , ) M[ X (t) X (t , )]

(13.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где центрированное значение

X (t) равно

разности

случайной функции

времени и ее м.о.:

X (t) Х (t) mx (t) (13.5)

У близких по времени сечений корреляционная связь обычно сильная, и

величина KX(t,t’) можно быть значительной.

Если t=t’ то корреляционная функция превращается в дисперсию для данного сечения:

К х (t,t) M[ X (t)]2 Dx (t)

Если использовать понятия нормированной случайной величины

 

X (t) mx (t)

 

 

X N (t)

 

X (t)

x (t)

x )t)

 

 

(13.6)

(13.7)

то очевидно, что м.о. произведения двух нормированных сечений равно коэффициенту корреляции этих сечений:

 

 

(t,t , )

 

K x (t,t , )

 

M [ X

 

(t) X

 

(t , )]

(13.8)

x

 

 

(t)

 

(t , )

N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при t t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t,t , )

Dx (t)

1

 

 

 

 

(13.9)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Пусть имеется n реализаций некоторого случайного процесса, причем n

достаточно велико. Найти основное количественные характеристики случай-

ного процесса: м.о. mx (t) , дисперсию Dx (t) , коэффициенты корреляции x (t,t , ) .

Для этого выбирают ряд сечения процесса, соответствующих дискретных значений времени t1 ,t2 ,...,tm .

Обычно выбирают сечения, равноотстоящие по времени, одного иногда целесообразно уменьшить интервалы между сечениями в определенных про-

межутков времени для более тщательного изучения закономерностей слу-

чайного процесса в данной области. Составляют таблицу значений наблю-

денной случайной функции времени X (t) .

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

Значения наблюденной случайной функции времени

 

 

 

 

 

 

 

 

X

t1

t1

t2

t3

tm

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1(t)

x1(t1)

x1(t2)

x1(t3)

x1(tm)

x2(t)

x2(t1)

x2(t2)

x2(t3)

x2(tm)

x3(t)

x3(t1)

x3(t2)

x3(t3)

x3(tm)

 

xn(t)

xn(t1)

xn(t2)

xn(t3)

xn(tm)

 

 

 

 

 

 

 

В этой таблице каждая строка соответствует конкретному опыту, т.е. ка-

кой-нибудь реализации процесса; каждый столбец – конкретному значению времени, т.е. какому – нибудь сечению процесса. Тогда м.о. для сечения tR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi (tR )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

X

(t

R

)

i 1

 

(13.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия сечения tR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[xi (tR )

mx (tR )]2

 

 

 

 

D

X

(t

R

)

i 1

 

 

 

(13.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корреляционный коэффициент для сечения tR и tl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[xi (tR ) mx (tR )][xi (tl ) mx (tl )]

 

X

(t

R

,t

 

)

i 1

 

 

 

 

 

 

(13.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1) X (tR ) X (tl )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим зависимости mX (t) и DX (t) по точкам.

Значения X (t,t , ) получают в виде таблиц, где число строк и столбцов равно т и соответствует моментам времени t1 ,t2 ,...,tR ,...,tl ,...,tm . В каждой клет-

ке для строки tR и столбца tl помещают вычисленное значение X (tR ,tl ) . По-

лученные числовые значения характеризуют данный случайный процесс. Та-

ким способом могут быть обработаны статистические данные по спросу мощности, показатели изменения проточности рек, определяющие распола-

гаемые мощности и энергию гидростанций, данные по изменению темпера-

туры наружного воздуха, влияющие на спрос мощности бытовыми потре-

бителями, и т. п.

Соседние файлы в папке 02 АЗЭ Лекционный материал