02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 14

Лекция №14 4.1. Дифференциальные уравнения электромеханических переходных

процессов в электрических системах, алгоритмы и способы их решения. Аналитическая и численная реализация критериев статической и динамической устойчивости. Алгоритмы частотного метода анализа переходных процессов.

Составление исходных уравнений Рассмотрим составление математических моделей элементов ЭЭС, необ-

ходимость и существо их преобразований первоначально для наиболее про-

стого случая: ЛЭП, расчетная схема которой состоит из индуктивностей и ак-

тивных сопротивлений (без учета емкостных проводимостей).

В соответствии с расчетной схемой уравнения переходных процессов в

этом элементе, связывающие падение u

L

dia

M

dii

M

dic

r i

,

ab dt

ac dt

a

a

dt

a

a

u b M ba

di a

L b

di b

M bc

di c

rb i b

,

dt

dt

dt

u

M

di a

M

di b

L

di c

r i,

c

ca

cb

c

c

dt

dt

dt

где, в соответствии с принципом взаимности для коэффициентов взаимо-

индукции M ab M ba , M bc M cb, M ac M ca.

Эти уравнения в матричном виде выглядят следующим образом:

	ua	La M ab M ac
					d
	ub	M ab Lb M bc
					dt
	ub	M ac M bc Lc

ia		ra 00		ia
ib		0rb 0		ib .
ic		00rc		ic

Для симметричного элемента примем

La Lb Lc L, Mab Mbc Mac M , ra rb rc r.

Тогда

uaubu

c

LML				ia
			d
MLM				ib
			dt
MML
				i
				c

r00		ia
0r0		ib
00r
		i
		c

,

или в матричных обозначениях

u di R i . dt

При этом в установившемся режиме

ia I m sin 0t , Ib I m sin 0t 120o , ic I m sin 0t 120o .

Аналогично можно записать падение напряжений .

Для установившегося синусоидального режима уравнения рассматривае-

мого элемента могут быть записаны в комплексных величинах с использова-

нием действующих значений напряжения и точа U Um 2 и I Im 2

U	a	Z
U b			Z
U			Z
	c

Z

Z

Z

Z			I
Z			I
Z			I

a

b

c

,

где Z r j 0 L, Z j 0 M , 0

частота сети .

Или в матричных обозначениях

U z I .

Устойчивость в электрических системах и простейшие методы ее иссле-

дования.

Электрическая система, обеспечивающая своим нормальным функциони-

рованием работу промышленности, транспорта, быта населения - всю жиз-

ненную деятельность городов, районов и всей страны, должна работать надежно.

Основным условием надежной работы является ее устойчивость, под ко-

торой понимают способность системы восстанавливать свое исходное со-

стояние - нормальный рабочий режим или режим, практически близкий к

нему, после какого-либо нарушения этого режима, иначе называемого воз-

мущением различают два вида устойчивости:

статическую устойчивость, рассматриваемую в двух аспектax:

-как свойство заданного установившегося режима самовосстанавливаться при ничтожно малых отклонениях параметров его режима ПР от исходных значений, а не «сползать» от них;

-как свойство постепенно ухудшающегося установившегося режима про-

тивостоять малым отклонениям и малым колебаниям вплоть до некоторого

предельного режима. Эти два варианта подхода к устойчивости показаны на простейшем тилизованном аналоге на рис. 14.1, а, б;

-динамическую устойчивость, рассматриваемую при больших (обычно нелинейных) отклонениях параметров ЯР, часто сопровождающихся измене-

ниями конфигурации и параметров электрической системы (числа, работаю-

щих элементов) и значений их параметров.

Различают два вида динамической устойчивости:

синхронную устойчивость — сохранение режима при больших колебани-

ях, но без проворота (180—360°) ротора генератора;

результирующую устойчивость — восстановление режима после кратко-

временного нарушения (например, при работе в течение некоторого времени генераторов электрической системы или ее частей несинхронно), но при вос-

становлении нормальной синхронной работы после нескольких проворотов ротора. Это восстановление может происходить самостоятельно в силу внутренних свойств системы или под действием специальных устройств си-

стемной автоматики.

На рис. 14.2, а, б показаны простейшие стилизованные аналоги двух ви-

дов динамической устойчивости.

Для обеспечения устойчивости система должна работать с некоторым за-

пасом, характеризуемым коэффициентом запаса К3, т. е. при таких парамет-

рах режима, которые отличаются в К3 > 1 раз от критических - тех, при кото-

рых может произойти нарушение устойчивости. Для определения запаса

устойчивости в, данной (работающей или прогнозируемой) системе, пара-

метры которой известны, и для выбора мероприятий, улучшающих устойчи-

вость, необходим анализ (расчеты) устойчивости с определением критиче-

ских параметров.

В ряде случаев необходим переход к задачам синтеза, например к нахож-

дению изменении параметров режима во времени: Пр = f(t), т. е. установле-

нию вида переходного процесса с выявлением вносимых с помощью устройств системной автоматики воздействий, которые придадут переходно-

му процессу желательный по тем или иным соображениям характер.

Выбор устройств и мероприятии действующих во время протекания про-

цесса, например таких, которые способствуют восстановлению синхронизма после его нарушения и обеспечивают этим результирующую устойчивость,

относится к задаче управления переходным процессом.

В настоящей главе будут рассмотрены простейшие случаи устойчивости режима по условиям сползания и синхронная динамическая устойчивость.

Рис. 14.1 Статическая устойчивость (стилизованные аналоги) положения (режима):

а-устойчивое 1 и неустойчивое 2 положения; б - колебательная устойчивость 1 и не-

устойчивость в процессе колебаний 2 с выходом из режима 3

Рис. 14.2. Динамическая устойчивость (стилизованные аналоги):

а-синхронная устойчивость: В - возмущение; 1 - неустойчивый процесс 2-колебания б-результирующая устойчивость: возвращение в исходное состояние 2 из неустойчи-

вого 1

Совмещение расчетов нормального режима и оценки его статической

устойчивости.

Если в процессе расчета нормального режима системы, обычно проводи-

мого итеративно на каждом его этапе, то прохождение его через нуль будет сразу же указывать на физическую неустойчивость данного режима, прояв-

ляющегося в виде сползания или текучести.

Математически D = 0 должно означать нарушение сходимости (устойчи-

вости) математического решения. Связь между сходимостью (математиче-

ской устойчивостью) и физической устойчивостью заключается в том, что при подходе к предельному режиму "ухудшается обусловленность матрицы,

что, в свою очередь, ухудшает сходимость.

Однако такой подход к оценке устойчивости встречает трудности. В при-

нятой практике расчетов нормального режима эти расчеты связаны с итера-

тивными решениями системы нелинейных уравнений, имеющих в векторной записи вид:W(x, у)=0,

где W - вектор-функция небалансов мощностей в узлах системы; х, у-

векторы зависимых и независимых переменных.

Итеративные решения (например, по методу Ньютона) не всегда облада-

ют вычислительной устойчивостью - сходимостью в физически устойчивом,

установившемся режиме - и, наоборот, могут быть вычислительно устойчи-

выми в режиме физически неустойчивом. Поэтому для выявления устойчи-

вости итеративные расчеты установившихся режимов выполняются при до-

полнительных условиях.

Простейшая оценка устойчивости перехода от одного режима к

другому (динамическая устойчивость).

Выше были рассмотрены условия устойчивости системы, которая подвер-

галась в установившемся режиме случайным, очень малым возмущениям

(отклонениям режима), т. е. условия статической устойчивости. Для их опре-

деления применялись практические критерии, основанные на совместном рассмотрении статических характеристик электрических и механических мощностей (вращающих и тормозящих моментов). Статические характери-

стики, полученные при очень медленных изменениях режима, отражают установившееся его состояние. Они не зависят от скоростей изменения пара-

метров режима и характеризующих эти скорости параметров системы (по-

стоянные инерции, постоянные времени контуров ротора вращающихся машин).

При появлении в системе больших возмущений (резких изменений режи-

ма), таких как короткие замыкания, отключения или включения нагрузок, ге-

нераторов, трансформаторов, линий передач и других элементов системы,

вместо статической задачи (статической устойчивости) приходится рассмат-

ривать задачу динамическую (динамическую устойчивость).

При этом необходимо учитывать нелинейности основных характеристик

[Р = φ(δ), Q = ψ(δ) и т. д.] и, рассматривая движение системы, учитывать ее инерционные параметры, определяющие скорости изменения параметров режима.

При больших возмущениях, связанных с резкими изменениями режима, э.

д. с. генераторов не будут неизменными, как это с достаточным основанием принималось при рассмотрении малых возмущений (статической устойчиво-

сти). Однако учет изменения э. д. с. во времени [Е =f(f)] сильно осложняет расчеты п в первом приближении их можно упрощенно проводить, учитывая генераторы квазипереходными (квазидинамическими) характеристиками мощности, т. е. при Е = Е' = const.

Х

1	а)					U=const
	1	1

1

б)

U=const

1 1

Рис.14.3 Исследуемая схема простейшей системы «станция-шины»

а – исходная схема I; б – схема после отклю-

чения

Тогда для простой системы (рис. 14.3, а) запишем

P E 2 y sin	11	EUy sin(			12	)	(14.1.а)
11			12
Если активное сопротивление не учитывается, то
P EUy sin или P			EU	sin			(14.2.б)
12			x12
где y12 1/ x12 . В простейшем случае х12			=х∑ - суммарное сопротивление

цепи от точки приложения э. д. с. Е до шин U (рис. 14.3 б).

Электромагнитный момент, действующий на валу генератора и опреде-

ляющий характер его движения, находится как М = Р/ω, однако в тех элек-

тромеханических процессах, которые будут рассматриваться в этом парагра-

фе, можно без большой погрешности принять 0 0 .

Основанием для этого является то, что скорость в начале процесса

вследствие большой инерционности ротора изменяется медленно

(100-200 град/с) и составляет, следовательно, не более 1—2% по отноше-

нию к синхронной скорости (ω0 = 360*50 = 18 000 град/с).

В условиях таких малых изменений скорости для приближенных расчетов устойчивости обычно принимают, что при записи в относительных единицах

(при ω0 = 1) изменения момент* численно равны изменениям мощности:М Р /( 0 ) Р / 0 или М* Р* соответственно М* - Р*.

Заметим, что далее на рисунках и в формулах звездочка будет опускаться.

Рассмотрим резкое изменение режима в системе (рис. 14.3 а, б), вызван-

ное отключением одной из параллельных цепей электропередачи. Предполо-

жим сначала, что активное сопротивление не учитывается, и построим со-

гласно (14.1 характеристики режима (рис. 14.3 а).

Из рассмотрения этих характеристик следует, что резкое изменение пара-

метров системы приводит к переходу ее из режима I, соответствующего схе-

ме I, в режим II,отвечающий схеме II. Это вызывает изменение электромаг-

нитного			момента					на валу каждого генератора системы от, М I M	T	до
								0
M II	M		T	(рис. 14.3, а). Появившийся небаланс между ускоряющим момен-
0
том турбины M 0								и тормозящим электромагнитным моментом генератора
( M	0	M			T	M II	) приводит к тому, что генератор начинает изменять ско-

рость.

Если M II MT , то скорость будет увеличиваться сверх синхронной на величину (рис. 14.3, б). Избыточный момент M при этом будет уравно-

вешиваться не только электромагнитным моментом, соответствующим отда-

ваемой генератором В сеть электроэнергии, но и моментом, отвечающим накапливаемой ротором кинетической энергии, определяемой как

Md A.

Уравнение движения генератор в простейшем случае (без учета демпфи-

рования и действия регулирующих устройств) запишется следующим образом:

M MT M II Tj d / dt

Здесь Tj - некоторый коэффициент, характеризующий инерцию ротора ге-

нератора; - изменение угловой скорости по отношению к синхронной

ω0; d / dt d 2 / dt - ускорение; δ - угол сдвига э. д. с. генератора по отношению к оси, вращающейся с угловой скоростью ωо.

Числовое значение и размерность коэффициента Tj зависят также от спо-

соба записи уравнения и размерности остальных его членов. В общем случае момент М является функцией скорости и изменяется при изменении режима

системы:

M II ( , )

В простейшем случае предполагается, что M II M II sin . Тогда запи-
									m
шем T			d	2 / dt		2 M	0	M II sin , или, полагая М = Р,
		j							m
T		d 2			P	P II	sin		(14.3)
	j dt
				2	0	m

Любые начальные изменения режима получают отражение в изменении угла δ0, значениях мощности Р0, амплитуды характеристики Рm.

Частотный метод расчета импульсных процессов на примере по-

гружных электродвигателей(ПЭД).

Для исследования внутриобмоточных явлений ПЭД при импульсных воз-

действиях использован частотный метод анализа переходных процессов.

В схемах электроснабжения ПЭД с одним и с двумя трансформаторами анализ переходных процессов при импульсных воздействиях проводился экспериментально с помощью анализатора переходных процессов (АПП).

При этом были получены осциллограммы переходных процессов в разных точках схем. В частности, на входе кабеля (рис.14.4, а, точка 2, рис. 14.4.6, б,

точка 3) и на зажимах погружного электродвигателя (рис. 14.4, а, точка 3,

рис. 14.4, б, точка 4) при установке различных защитных аппаратов в различ-

ных точках.

Рис. 14.4. Принципиальные схемы электроснабжения ПЭД

а) с одним трансформатором; б) с двумя трансформаторами

Проведение исследований переходных процессов в обмотках ПЭД экспе-

риментально невозможно (ПЭД – маслонаполненная, герметичная система),

потому для исследования распространения волн и оценки градиентных пере-

напряжений внутри обмотки ПЭД использован частотный метод анализа пе-

реходных процессов.

Зная форму воздействия на кабель и форму кривой на зажимах ПЭД, по-

лученные экспериментально, можно оценить погрешность частотного мето-

да, для которого задача сводится к расчету переходных процессов в системе

«кабель – ПЭД». Анализ расчетов показывает, что частотный метод расчета переходных процессов не дает погрешности больше 10 % (рис. 14.5). Что ка-

сается оценки внутриобмоточных явлений ПЭД, задача сводилась к расчету переходных процессов в обмотке двигателя.