Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
61
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
302.07 Кб
Скачать

Лекция №5

2.3. Матричный способ описания топологических схем электрических сетей и систем. Алгоритмы определения параметров режимов электрических сетей с помощью матриц инциденций.

Этот способ более технологичен (с помощью таблиц соединения). Мат-

ричное описание основывается на двух матрицах соединений.

Необходимым условием матричного описания является предварительная маркировка схемы начальной и сплошной нумерацией узлов и ветвей. В мат-

рице M , информация задается следующим образом: если ветвь с номером q,

имеет одним из узлов узел с N i, то на пересечение строки и столбца q ста-

вится коэффициент соединения +1, если положительное направление ветви с номером q от узла i, то все остальные элементы заполняются нулями.

В матрице N +1, если ветвь принадлежит конкретному контуру и совпа-

дает с направлением контура. Ставится -1 при несовпадение этих направле-

ний. Ставится 0, если ветвь в этом контуре не участвует.

Недостатки этого описания: это описание требует больших затрат памяти и большое количество нулевой информации.

Матричное описание с помощью матриц соединения (M и N) составляются уравнения по первому закону Кирхгофа и по второму закону Кирхгофа.

Установлено, что MI=0- по первому закону Кирхгофа.

Матрица М, умноженная на вектор токов ветвей, дает нулевой вектор.

Матричные произведения некоммутативные. Количество столбцов долж-

но быть равно количеству строк. В формульной записи основных законов электротехники, уравнения соответствующие этим законам были записаны в матричной форме. При этом необходимо учитывать, что матрицы произведе-

ний некоммутативные, то есть сомножители в большинстве случаев нельзя переставить местами.

Основное правило при этом: количество столбцов левого сомножителя должно равнять количеству строк матрицы правого сомножителя. Матрицы

M и I входят в формульную запись первого закона Кирхгофа. Они соответ-

ственно имеют: M - число столбцов равное числу ветвей, а I - число строк равное числу ветвей.

Следовательно, их можно умножить друг на друга, причем умножение идет последовательно. Первая строка матрицы m умножается на столбец I.

Далее вторая строка M на столбец I и так далее. Аналогичным образом со-

ставляется произведение матрицы N на вектор U ветвей. Результатом произ-

ведения является нулевой столбец правых частей, в котором количество строк будет равно количеству контуров.

Рассмотрим частные случаи:

1. Если M составлена для всех узлов схемы, то она является вырожденной

(Если последовательно сложить все элементы каждого столбца, то результат значения будет равным 0. Если сложить элементы всех столбцов, то получим нулевую строку.). Матрица M будет невырожденной, если из нее исключить одну строку, которая соответствует узлу нулевого потенциала. Если просум-

мировать все строки усеченной матрицы M, без строки узла нулевого потен-

циала (или базисного), то мы получим строку ему соответствующую.

2. В дереве нет замыкающих ветвей. Матрица M для разомкнутой элек-

трической системы обозначается MP (матрица разомкнутой части).

Структура этой матрицы очень характерна: число ветвей на 1 меньше числа узлов (в разомкнутой электрической схеме). Это значит, что если мы введем обозначение Mи M, причем в Mколичество строк будет столько какого количество узлов, а в M число узлов будет на 1 меньше (то есть она будет построена для независимых узлов схемы). Это означает, что матрица

M в разомкнутой схеме будет квадратной (U-1 строк и U-1 столбцов). Эта матрица М неособенная (то есть, может иметь обратную). Это значит, что

MI=0 для схем, в которых в узлах соответствующей сети нет задающих то-

ков, стоит 0, но если есть, то ставится J. Если это разомкнутая система, то M p I J . M p1M p I M p1J : I M p1 J ; - если в узлах задаются необходимые сведения о потребление в электрической сети, то мы можем получить все то-

ки в электрической системе.

Итак, окончательно данное выражение, представляет собой решение зада-

чи токораспределения и потокораспределения в разомкнутой электрической сети.

U- напряжение во всех узлах электрической схемы. В практических рас-

четах очень часто мы заменяем вычисления или определение напряжения в

узлах напряжениями, отсчитанными от балансирующего узла.

 

 

Ud

 

 

 

1

 

 

 

 

 

U-nUВ=

 

 

 

n - единичный вектор. Uв n n =

 

1

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

Введем соотношение, которое позволит определить направление ветвей через матрицу M и соответственно U В M tV ( M t - транспонированная матрица). Uв MtU - это выражение позволяет получить основные тополо-

гические соотношения между матрицами интенденций. Если вспомнить, что формула закона Кирхгофа NUВ=0, то учитывая последнее выражение, полу-

чаем NM tU 0 - в данном произведение нулю в правой части должно соот-

ветствовать или 0*U или NMt0 или 0*0.

Напряжения U , отсчитанное от балансирующего узла, нулю не равны,

следовательно, NMt=0. Если(NMt)t=0, то NMt =0.

Основными расчетными процедурами для анализа режимов является ме-

тод узловых напряжений и метод контурных токов. Получим эти выражения в матричном виде, пользуясь определениями матриц интенденций и соответ-

ствующих законов Ома и Кирхгофа. Начнем с метода узловых напряжений.

Для его формулировки будем исходить из матричной записи закона Ома. За-

меним в этом выражение вектор U в его аналогом через M t и U . Получили

UВ=ZI-E, следовательно MtU ZI E ; MtU E ZI . Теперь разрешим эти уравнения относительно токов ветвей.

Для этого, левую и правую части, слева умножаем на Z 1 , получаем

Z 1M

U

 

Z 1E Z 1ZI , следовательно, Z 1M

U

 

Z 1E I . Далее, левую и

t

 

 

t

 

 

 

 

 

праву части умножаем на матрицу M, получили

 

Z 1M

U

 

M Z 1EM IM .

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

В выражение MZ 1

отражены токи от продольных ЭДС в ветвях электриче-

ской системы, а в правой части или 0 или J.

 

 

 

 

 

 

Введем практические ограничения и соответствующие постановки задач расчета режимов. Это значит, что в подавляющем большинстве случаев, при расчете установившихся электрических систем выражение MZ 1E отсут-

ствует, но в правой части будет J.

Тогда MZ 1U

 

J ;

Y

=> Y U

 

J .

 

 

y

y

 

Z-1 - при отсутствии взаимно индуктивных связей является матрицей про-

водимостей ветвей. Матрица Z - это матрица сопротивлений ветвей.

Она имеет диагональную форму, а в ней элементы диагонали равны 0 (ес-

ли нет взаимно индуктивных связей). Обратная матрица находится как вели-

чина обратная стоящим по диагонали элементам матрицы Z.

При наличии взаимно индуктивных связей в матрице Z появляются вне-

диагональные элементы, следовательно матрица Yв находится с использовани-

ем стандартных алгоритмов обращения матриц.

В расчетах токов короткого замыкания задающие токи равны 0, а выра-

жение MZ 1E , взятое с обратным знаком равно J ~ , следовательно,

YyU J~

Матричная форма метода контурных уравнений.

Для построения уравнения по методу контурных токов используют, так же как и в предыдущем случае, матричную форму закона Ома. Приемы и способы формирования уравнений аналогичны узловой записи. Окончатель-

ный, после преобразований, общий вид матричного уравнения методом кон-

турных токов такой же как и как и для узловых потенциалов.

NZNtIk=Ek; MZ

1

M

U

 

J ;

 

1

 

 

YZ

 

 

 

i

 

 

 

 

MYM t Yy - матрица узловых проводимостей;

NZNt=Zk - матрица контурных сопротивлений;

И в том и другом случае используется матрица узловых проводимостей ветвей Y и матрица сопротивлений ветвей Z . При отсутствии взаимно ин-

дуктивных связей, матрицы Y и Z диагональные.

Матрица имеет число строк равное числу независимых узлов и число столбцов равное числу ветвей. Y - число столбцов и строк равно числу вет-

вей, следовательно матрицу можно умножить на Y. Результат: число строк равно числу ветвей, число столбцов равно числу узлов. Из выше сказанного следует, что полученный результат можно перемножить на Mt.

YyU J ; U Yy 1 J - формальное аналитическое решение задачи анализа

режима по методу узловых напряжений.

При решение задач связанными с матричными вычислениями мы сталки-

ваемся с двумя видами арифметических процессов: устойчивыми и неустой-

чивыми. Поскольку каждое число и каждая операция в ЭВМ представляется своей моделью, то возникающие при этом погрешности подавляются и тогда процесс устойчив, или лавинообразно нарастают и тогда процесс неустойчив.

В матричных вычислениях процесс численной устойчивости в значитель-

ной мере определяется и внутренними свойствами этих матриц (одно из них называется обусловленностью). Особенно это проявляется в операциях отоб-

ражения матриц и решение систем уравнений. Численную неустойчивость можно иллюстрировать: если незначительное изменение любого коэффици-

ента основной матрицы системы линейных алгебраических уравнений, или любого члена правых частей, приводит к значительным изменениям резуль-

татов, то данная матрица плохо обусловлена и может инициировать накопле-

ние погрешностей. Все это должно учитываться при формирование матрич-

ных решений системы узловых и контурных уравнений.

 

 

 

;

 

1

 

;

(5.1)

Zk

Ik

Ek

Ik

Zk

Ek

Оценка заполнения основной матрицы Y и контурной Z . Анализ проще всего, не умоляя общности рассуждений, провести на примере матрицы уз-

ловых проводимостей Y . Анализ показывает, что заполнение матрицы Y

происходит по следующим правилам. В матрице Y , в том случае если марки-

ровка произведена, нумерация узлов сплошная и начальная. В этом случае диагональ этой матрицы плотно заполнена, на диагонали стоят, так называе-

мые, собственные проводимости узлов. Они представляют собой суммы про-

водимостей ветвей сходящихся в этом узле с данным номером.

 

1

2

3

4

 

 

 

 

 

1

Y1+Y2+Y3

-Y12

-Y13

-Y14

 

 

 

 

 

2

-Y21

Y3+Y4

0

-Y24

 

 

 

 

 

3

-Y31

0

Y1+Y5

-Y34

 

 

 

 

 

4

-Y41

-Y42

-Y43

Y2+Y4+Y5

 

 

 

 

 

Внедиагональными элементами для каждой ветви будут два элемента с номерами: н - начало, к - конец Количество ненулевых элементов вычисляет-

ся по формуле: n=y+2b - где у - число независимых узлов; b - ветви. Среднее отношение числа ветвей к числу узлов равно 1,5 (b/y=1.5). Следовательно,

количество ненулевых элементов равно 4у. На практике, чаще всего, количе-

ство ненулевых элементов приблизительно равно 3,7у.

Рассмотрим динамику этих отношений. Если в схеме 10 узлов, то в мат-

рице 37 ненулевых элементов, это составляет 37%. Если в схеме 100 узлов, то в матрице 370 ненулевых элементов, это составляет 3,7%. Если в схеме 1000

узлов, то в матрице 3700 ненулевых элементов, это составляет 0,37%.

Выводом является то, что матричное описание очень удобно с точки зре-

ния аналитического представления и решения, но матричное описание требу-

ет больших затрат памяти, причем в основном матрицы Y и Z , которые со-

держат нулевые элементы. Это значит, что в основных операциях по умно-

жению и обращению матриц мы будем использовать операции: 0+0, 0-0,

0*0. Следовательно, мы должны использовать методы, которые учитывают плохое заполнение матриц. Все, что было сказано в отношение матриц узло-

вых проводимостей, аналогично и для матриц контурных сопротивлений,

следовательно, настоящие выводы имеют общий характер для методов ана-

лиза режимов электрических сетей.

NVв 0 ;

NM tV 0 ;

U B MtU ;

(5.2)

Разделим матрицы M и N на блоки, которые в сложной замкнутой элек-

трической сети будут соответствовать ветвям дерева схемы и, кроме того,

введение ветви замыкающей (хорды). Простейшее дерево - это ветвь и два узла. Существует топологическое правило, по которому число ветвей дерева равно числу узлов схемы без единицы. Это значит, что число ветвей дерева равно числу независимых узлов.

Если электрическая система сложно замкнутая, то все оставшиеся ветви являются замыкающими (каждая из них замыкает контур), то есть хорда или замыкающая ветвь является опорной конструкцией одного независимого контура. Аксиома: для каждой реальной электрической сети, изображенной в виде графа, определены только числа ветвей, а хорд составляющих, их может быть различным. Для одной и той же схемы (графа) можно построить не-

сколько деревьев, каждое из которых определяет свой набор хорд, Полный набор деревьев для рассматриваемой схемы носит название лес.

Соседние файлы в папке 02 АЗЭ Лекционный материал