02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 15

Лекция №15 4.2. Методы и алгоритмы анализа волновых процессов в электрических

сетях. Алгоритмы имитационного моделирования распространения волн перенапряжений в линиях электропередачи и подстанциях. Учет нелинейных физических процессов и характеристик защитного оборудования.

Математическое моделирование продольных токов смещения и поверх-

ностного эффекта в многослойной земле и проводах линий электропередачи Математическое описание распространения электромагнитных волн в

многокомпонентных системах и устройствах, таких, как многопроводные воздушные и кабельные линии, заземляющие устройства, линии и кабели связи и др., основано на анализе систем уравнений Максвелла, построенных для соответствующих электромагнитных полей. При этом должны быть удо-

влетворены граничные условия на поверхностях раздела сред с различными характеристиками (воздух, земля с неоднородной структурой, провода,

грозозащитные тросы, металлические конструкции и т.д.).

Решение названных задач в подавляющем большинстве случаев произво-

дится с помощью классического перехода от дифференциальных описаний в рамках теории электромагнитных полей, к интегральным представлениям, с

помощью схем замещения в виде цепей с сосредоточенными и распределен-

ными параметрами. Эти параметры и позволяют интегрально учесть, с одной стороны, физические условия, разнообразные технические условия, среды и границы между ними. С другой стороны, они позволяют определить в названных технических системах соответствующие реакции в виде токов,

напряжений, мощностей и других параметров стационарных и переходных режимов, что необходимо для принятия технических решений.

Обобщенное представление квазистационарных и импульсных процессов в названных выше многокомпонентных системах производится с помощью телеграфных уравнений, решение которых необходимо производить в очень широком диапазоне частот. Одним из наиболее значимых физических про-

цессов при этом является поверхностный эффект в проводах и земле, имею-

щей неоднородную, чаще всего, слоистую структуру.

Рассмотрим учёт этого эффекта для многокомпонентных систем, не умаляя общности рассуждений, на примере многопроводной воздушной линии элек-

тропередачи. Отметим, что способы и методика решений - с необходимыми из-

менениями - могут быть использованы для других многокомпонентных систем

и устройств, в частности, заземляющих конструкций и др.
F = Fz + Fn ,	(15.1)

где Fz - квадратная матрица интегралов Карсона, в которой элементы fzкm

(к и m - номера проводов многопроводной линии) определяются с помощью

интегральных выражений

	2e (hк hm ) cos a					кm
	fzкm (r, )							d ,	(15.2)
	0		2 p 0 z
Fn – диагональная матрица, собственные элементы которой определяются
в виде	fnкк		к kcк I0 ( к )		.				(15.3)
			0 к I ( к )

Выражение (15.3) учитывает поверхностный эффект в к - ом проводе. В

нём k rк p к k - аргумент модифицированных функций Бесселя I0(ψк),

I1(ψк), ρк =1/ γк - удельное сопротивление и проводимость, μк - магнитная проницаемость (при пренебрежении намагничиванием стальной части про-

вода), кск – коэффициент, приближенно отражающий многожильность,

скрутку повивов провода, окисление поверхности и т.д., rк - радиус одиноч-

ного провода (для расщепленных проводов эквивалентный радиус рассчиты-

вается по формуле rкэ rк asр 1 , где rк – радиус одной из s составляющих про-

вода, расщепленного с шагом a p.

Уточнённая математическая модель поверхностного эффекта в мно-

гослойной земле.

Электротехнические многокомпонентные системы и устройства работа-

ют в сложных сочетаниях физических сред (воздух, неоднородная земля с

большим диапазоном изменения проводимости, твердые, жидкие и газооб-

разные диэлектрики, например, в кабельных конструкциях и др.). При анали-

зе их работы в импульсных и высокочастотных процессах, определение инте-

гральных выражений, учитывающих влияние поверхностного эффекта в мно-

гослойной земле и проводах, а также продольных токов смещения в земле,

производится с допущениями Карсона.

В ряде электротехнических приложений требуется более точное решение этих задач без названных допущений. Здесь можно применить методику,

сформулированную Гринбергом и Бонштедтом для однопроводной, и Пере-

льманом - для многопроводной линии электропередачи над однородной зем-

лей. Для упрощения, изложение проводится сначала для однопроводной ли-

нии и далее - для многопроводной задачи, где они во многом аналогичны.

Решение в этом случае производится методом последовательных прибли-

жений, так как выражения, учитывающие влияние земли на текущей частоте

ω, зависят от определяемой постоянной распространения Г. Однако, зависи-

мость эта проявляется слабо, так что достаточно точным оказывается первое приближение, полученное при допущении Г 20 2 0 0 , (4.46).

Здесь μ 0 и ε 0 – магнитная и диэлектрическая проницаемости (индекс 0 –

для воздуха).

Рассмотрим точное решение в условиях для двухслойной земли при до-

пущении (4.46). Сохраняя обозначения и используя постановку задачи, при последующем рассмотрении не будем пренебрегать y и z – составляющими векторами электрической напряженности в земле.

При этом общее решение для z – составляющей электрической напряжен-

ности в воздухе и двух слоях земли может быть записано в виде:

	Ez	e ( z h) cos yd			M ( )e z h cos yd ,	h > z > 0,
		0			0
	EzI	M I/ e I z h cos yd M I// ( )e I z h cos yd ,				0 > z > –d,	(15.4)
		0			0
	EzII	M II ( )e II z h cos yd ,				–d > z >– ,
		0
	где множители			2ГC	и e h выделены для упрощения произвольных
				m2

функций M ( ), M I/ ( ), M I// ( ), M II ( ), подлежащих определению, Г- постоянная распространения, а С – постоянная, определяемая из граничных условий на границе провод-воздух аналогично.

Выражение для составляющей в воздухе записано в виде двух частей,

первая из которых Ez0 e ( z h) cos yd	(15.5)
0

является интегральным представлением z – cоставляющей электрическо-

го поля провода в ограниченной однородной среде при симметричном рас-

пределении тока по сечению.

Вторая составляющая отвечает вторичному полю земли.

Для определения неизвестной функции могут быть использованы следу-

ющие граничные условия на поверхностях раздела z = 0 и z = - d

	/ Ez I/ EzI ,	I/ EzI II/ Ez// ,	E	z		E I	E I		E II
						z	z		z	,	(15.6)
			z			z	z		z
	z = 0	z = – d	z = 0				z = – d

где два первых условия для нормальной составляющей поля на границах раздела сред с различными характеристиками хорошо известны, а два по-

следних вытекают при этом из уравнения div E = 0. Участвующие в (15.6)

выражения типа i/ i j i / представляют собой комплексные диэлектри-

ческие проницаемости сред.

Общие решения для y – составляющих в рассматриваемых средах будем искать в виде

E y

EyI

EyII

e ( z h) sin yd N (
0		0

NI/ ( ) e I z h sin yd

0 0

NII ( )e II z h sin yd

)e ( z h) sin yd

NI// ( ) e I z h sin yd

(15.7)

0

Построение выражений (15.7) аналогично (15.4). Для определения

N( ), NI/ ( ), NI// ( ), NII ( ) можно использовать известные граничные условия для тангенциальных составляющих поля на границе сред с различными ха-

рактеристиками z = 0 и z = –d
Ey Ey/ (z = 0),	EyI EyII ( z = –d)	(15.8)

Составляя выражение для всех сред и учитывая непрерывность H x на гра-

нице раздела, имеем

1 Ey

1 EyI

1

1

I

(15.9)

(

Ez

Ez

)

z

I

z

y

II

и аналогичное уравнение для границы z d . Используя в (15.9) и полагая для наиболее распространенного случая, когда диэлектрические проницаемо-

сти сред I II

0 , получим

Ey

I

1

Ey

2

e h sin ydy

z

z

0

EyI

EyII

/

e

h

2 (

II

1)

sin ydy ,

(15.10)

z

z

/

x

I

0

/

/

II

/

II

где 1

(

II

II

)ch I d (

I

)sh I

d .

/

/

I

I

I

На

основании

можно

записать

систему уравнений для

функций

N( ), N / ( ), N // ( ), N

II

( )

I

I

1

N ( ) N / ( ) N //

( ),

I

I

1 N ( ) N I/ ( ) N I// ( ) I

2

/

,

(15.11)

N

/ ( )e I d N // ( )e I d

N

II

( )e II d ,

I

I

I

N / ( )e I d N // ( )e I d

II

N / ( )e I d

I

I

II

Имея после решения (15.11) все неизвестные произвольные функции, за-

пишем необходимое для дальнейших рассуждений выражение

	N ( )		1		2 z	( I ch I d II sh I d ) 2 3 sh I d ,
					I

где

2

/

/

(

)(

II

1)sh

d

II

1

I

/

I

/

2

1

,

.

I

I

I

(

II

)ch

d ( 2

II

)sh

d

3

I

I

I

I