02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 9

Лекция 9

2.5.Составление уравнений режимов и учет плохого заполнения ос-

новных матриц и алгоритмы итерационных методов расчета устано-

вившихся режимов

Использование ТРО расчете установившегося режима. Классические задачи анализа режимов СЭЭС, решениями которых явля-

ются, например, для установившихся нормальных и аномальных режимов комплексные значения параметров (токов, напряжений, потоков мощностей и др.) с позиций теории ТРО трактуются, как построение образов – портретов режимов СЭЭС, которые формируется на основе следующей информации:

по идеализированным заданным условиям работы источников и состо-

яния сети в установившихся режимах (УР) и режимах короткого замыкания

(КЗ) и др.;

по данным измерений параметров режима в условиях топологической полноты, избытка и недостатка информации, которая поступает по каналам телемеханики;

по данным отпуска и потребления, полученным с помощью устройств

исистем учета электроэнергии, в частности, АСКУЭ.

На основе ТРО для приведенных выше и ряда других задач эксплуатации и проектирования СЭЭС можно сформулировать важнейшее критериальное положение правдоподобия названного выше портрета режима, основанное на минимизации его уклонения от реального состояния СЭЭС с помощью раз-

личных способов его оценки.

Это положение в большинстве случаев заменяется необходимым, но,

строго говоря, не достаточным условием минимизации его отклонения от по-

ложения электрического равновесия. Оно, как известно, фиксируется по ев-

клидовой норме узловых или контурных невязок (то есть по законам Кирхгофа).

Кроме этого в ряде случаев формируются косвенные подходы к оценке правдоподобия образа, которые можно классифицировать следующим образом.

1. Дифференциальные, относящиеся к малым отрезкам времени с точки зрения интервалов времени наблюдения СЭЭС. Сюда можно отнести портре-

ты конкретных эксплуатационных и проектируемых режимов, причем ин-

формация о текущих параметрах может быть задана исходно или по значени-

ям генерации и потребления электрической мощности, или по некоторым па-

раметрам режима в отдельных узловых точках или ветвях схемы СЭЭС.

2. Интегральные, реализующие обобщенные сведения о работе и состоя-

нии СЭЭС, такие, как данные систем учета генерации и потребления элек-

троэнергии, в частности АСКУЭ; в ряде случаев эта информация может быть искусственно преобразована в приближенную дифференциальную форму.

3. Комбинированные, использующие сочетания двух предыдущих подхо-

дов, особенно в тех случаях, когда необходимы дополнения к систематически недостаточной информации с топологической точки зрения или при спора-

дических ситуациях, возникающих при отбраковке недостоверной режимной информации и др.

4. Косвенная оценка правдоподобия, формируемая в итерационных про-

цессах расчета уравнений установившихся режимов (УУР) СЭЭС, а также,

например, режимов КЗ при использовании МСГ и др.

В работе показано, что результаты расчета УР для СЭЭС, имеющих не-

сколько ступеней номинальных напряжений, могут быть получены с исполь-

зованием итерационных процедур по методам Гаусса-Зейделя, Ньютона-

Рафсона и градиентному методу непосредственно по таблицам Ту и Тух без формирования соответствующих уравнений.

Составление уравнений режимов в таких сетях с учетом того, что: задано положительное направление от узла начала p к узлу конца q (рис. 1); про-

дольное сопротивление ветви z вычислено для ступени номинального напряжения сети, где находится узел p начала ветви; идеальный трансформа-

тор принимается без потерь и находится всегда в конце ветви; известен ко-

эффициент трансформации K pq .

Сущность расчета УУР по методу Гаусса-Зейделя состоит в использова-

нии узловых уравнений, которые для произвольного узла р могут быть запи-

саны в следующем виде:

	S p U p K pqU qYpq K qp U qYqp
			q		q
U p			Ypq K qp2		Yqp			,	(9.1)

qq

Ввыражении (9.1) в числителе и знаменателе присутствуют по две сум-

мы. В каждой паре сумм первая составляется по всем ветвям, для которых узел р является узлом начала ветви; вторая – по всем ветвям, для которых узел узел р является узлом конца ветви.

Самым целесообразным способом построения

p

z p1

1

вычислительного процесса в этом случае представ-

K p1

ляется способ последовательного суммирования, при

K

2 p

z2 p

2

последовательном просмотре всех строк таблицы Тух.

J p

K3 p

z3 p

3

При этом для каждого пакета узловых характеристик p

U p

z pq

K pq

q

производится набор сумм, участвующих в выражении

Рис.

9.1. Пример

(3) и вычисляется новое значение напряжения узла p.

схемы с

трансформа-

По

окончании просмотра таблицы Тух оказываются

торными ветвями

определены напряжения во всех узлах схемы.

Характерной особенностью итерационного метода

Гаусса-Зейделя является то, что при последовательном и циклическом по-

рядке уточнения неизвестных (в данном случае узловых напряжений) каж-

дый раз используются самые последние значения остальных неизвестных.

Так, например, для (i+1)-й итерации можно представить одно из уравнений системы (9.1) в виде:

i 1	i 1	i 1	i 1	i	i	..	(9.2)
U p	f p U1	, U 2	, , U p 1	, U p	, , U n 1

С помощью табличных методов, предложенных в работе, основная пози-

ция текущей итерации – вычисление новых значений узловых напряжений производится в цикле по узлам с просмотром таблицы узловых характери-

стик Тух. Завершающая операция – определение потоков мощностей и токов в ветвях – выполняется в цикле по ветвям по таблице Ту.

При построении итерационного процесса решения УУР по методу Нью-

тона-Рафсона система нелинейных уравнений W ( X ) = 0, где переменными являются модули U и фазы δ напряжений узлов, а функция W соответствует узловым небалансам активной ∆P и реактивной ∆Q мощности, на каждой i-

ой итерации последовательно заменяется линейной системой вида

	W ( X	)		δ		ΔP
W(Xi) +	i		∙ ( Xi - Xi-1) = 0, где X		, W	.	(9.3)
	X
			U		ΔQ

Ее решения дают значения неизвестных Xi, более близкие к решению названной нелинейной системы, чем (i–1)-ое и предыдущие приближения X.

Элементы матрицы Якоби – частные производные небалансов активной и реактивной мощности по модулям и фазам напряжений узлов:

W

H N

, где H =

ΔP

, N =

ΔP

, L =

ΔQ

, K =

ΔQ

.

(9.4)

X

δ

δ

δ

U

L

K

На основе табличных методов, предложенных в работе, произведена оп-

тимизация за счет реализации параллельных вычислительных процессов в цикле по ветвям при просмотре Ту, в которых участвуют принадлежащие од-

ной ветви элементы подматриц H, N, L, K, без формирования их в матричном виде. Диагональные элементы этих подматриц также параллельно участвуют

врасчете в цикле по узлам.

Витерационном процессе по градиентного метода в системе нелинейных

уравнений установившегося режима, W(X)=0. Где вектора		U1		и
		X
		U 2
I1	составлены из вещественных U1, I1 и мнимых U2, I2 значений узло-
W
I 2

вых напряжений и токов, а функция W соответствует вещественным и мни-

мым значениям узловых небалансов по току и вводится неотрицательный функционал =(W^WТ), равный квадрату эвклидовой длины вектора W.

Здесь обозначены символами «^» - скалярное произведение веторов и «Т»

- транспонирование.

На (i+1)-ой итерации значения Xi+1 находятся в виде
Xi+1 = Xi - G(Xi) ∙ t	(9.5)
с шагом t по вектору-антиградиенту -G, вычисленному в	Xi
- Gi = - G(Xi) = - gradX φ=- ∂ /∂X,	(9.6)

то есть по направлению наискорейшего спуска к абсолютному минимуму, соответствующего положению электрического равновесия по первому за-

кону Кирхгофа для токов в узлах.

Это позволяет определить новые значения неизвестных Xi+1. Однако для того, чтобы они были ближе к решению нелинейной системы W ( X ) = 0, чем текущее приближение Xi , необходимо выбрать оптимальный шаг в направ-

лении вектора -Gi. Эту задачу можно решить приближенно с помощью ли-

нейной аппроксимации производной сложной функции = [X ( t )] при зна-

чениях t=0 и t= t1 (так называемый пробный шаг), которым соответствуют

приближения Xi и Xi+1.
Дифференцируя по t функцию						и выражение (9.6) , имеем, соответ-
			X		Т			Т
ственно, t			t ,		(Gi^G i) при t=0 и			(Gi^G i+1) при t=t1. Теперь по-
		X		t			t

сле преобразований можно определить уточняющий шаг t*, приближенно до-

полняющий t1 до оптимального значения
t* = t1∙ (G i^GТi) /[(Gi^GТi+1) – (Gi^GТi)]	(9.7)

Основная позиция текущей итерации - нахождение вектора-градиента с использованием табличного метода так же, как и в предложенном табличном варианте метода Ньютона-Рафсона, реализуется в двух независимых циклах:

по таблице ветвей Ту и по узлам схемы. Матричные операции и здесь исполь-

зуются, по существу, только для формальных промежуточных описаний.

Проведен сравнительный анализ рассмотренных методов. Для большин-

ства нормальных режимов с равной доли целесообразности могут быть ис-

пользованы методы Гаусса-Зейделя и Ньютона-Рафсона. Градиентный метод может быть использован для получения хороших начальных приближений как «разгонный» алгоритм для входа в область решения. Иначе говоря, его

можно использовать для улучшения и даже для обеспечения сходимости в сочетании с методами Ньютона-Рафсона и Гаусса-Зейделя, Применение только градиентного метода для расчета установившегося режима нецелесо-

образно, так как его сходимость ухудшается по мере приближения к реше-

нию, и в большинстве задач решение не может быть получено с высокой точностью.

Методы и алгоритмы расчета установившихся режимов

Расчет установившегося режима энергосистемы (расчет нормального ре-

жима, расчет потокораспределения) является одним из наиболее часто встре-

чающихся при анализе работы энергосистем. Помимо самостоятельного зна-

чения, он также может входить составной частью в более сложные расчеты,

например расчеты устойчивости.

С математической точки зрения задача расчета заключается в решении нелинейной системы уравнений с целью определения неизвестных парамет-

ров режима.

Источники и нагрузки, располагающиеся в узлах схемы замещения, при расчетах на ЭВМ установившихся режимов могут задаваться следующими

способами.

1) Постоянная активная и реактивная мощности:

P = const, Q = const, или S P jQ const.

1.1При задании нагрузок или генераторов таким способом, перемен-

ными являются модуль и фаза напряжения узла U и (либо вещественные и мнимые составляющие напряжения узла U1 и U2). Это значит, что в узле за-

дан нелинейный источник тока, величина которого зависит от напряжения узла:

J		S		var,	(9.8)
		3U

где J – комплекс задающего тока нагрузки или генератора;

S – сопряженный комплекс суммарной мощности в узле;

U – сопряженный комплекс напряжения в узле.

Узлы, заданные таким способом, будем называть нагрузочными или гене-

раторными. Далее они именуются узлами первого типа.

2) Постоянные активная мощность и модуль напряжения:

P = const,		U = const.
2.1	В этом случае переменными являются реактивная мощность Q и

фаза напряжения узла (либо вещественные и мнимые составляющие напряжения узла U1 и U2). Узлы со свободной реактивной мощностью при P

= 0 соответствуют синхронным компенсаторам либо при P 0 – генераторам.

Такие узлы называют балансирующими по реактивной мощности. Далее они именуются узлами второго типа.

3)Постоянные модуль и фаза напряжения:

U = const, = const;

либо постоянные вещественная и мнимая составляющие напряжения:

U1 = const, U2 = const, или
	U const.

В этих узлах переменными являются активная и реактивная мощности P и Q. Такие узлы будем называть балансирующими. В расчетах установившихся режимов возможно задание нескольких балансирующих узлов. Каждый из них соответствует станции, принимающей на себя небалансы активной мощ-

ности и поддерживающей при этом постоянную частоту в системе. Далее они именуются узлами третьего типа.

Все многообразие имеющихся в настоящее время математических мето-

дов решения этой задачи, так или иначе, опирается на два фундаментальных метода расчета электрических цепей:

а) метод контурных токов;

б) метод узловых напряжений.

При этом можно рассматривать в качестве определенных координат названных задач (установившегося процесса) вектор комплексных значений

узловых напряжений представляющих собой совокупность значений иско-

мых величин электрической сети в виде :

U U1 jU2 Ue j (9.9.)

U1 и U2 – вектора вещественных и мнимых частей узлов напряжения;

U и δ – вектора модулей и фаз узлов напряжений.

Реализация решения задачи о нормальном режиме на ЭВМ более удобна по методу узловых уравнений.

Нелинейные уравнения узловых напряжений в форме баланса токов име-

ют вид:

		(9.10)
YU J,

где

Y Y1 jY2 – комплексная матрица собственных и взаимных прово-

димостей;

Y1 и Y2 – соответственно, матрицы активных и реактивных проводимо-

стей; J J1 jJ2 – вектор столбец комплексов задающих токов нагрузок или генераторов;

J1 и J2 – соответственно, вектора вещественных и мнимых частей задаю-

щих токов.

Уравнения узловых напряжений составляются для всех узлов кроме ба-

лансирующих. Для системы, состоящей из n узлов, они могут быть записаны в виде:

					U p ; p 1, 2, , n 1	(9.11)
	U p Ypq YpqU q S p
		q	q
где U p и U p			– напряжение и сопряженный комплекс напряжения в узле
p;
U q	– напряжение в узле q; Ypq				– проводимость ветви p-q;

Sp – сопряженный комплекс суммарной мощности в узле p.

Уравнения узловых напряжений часто используются в форме баланса

мощности:

			(9.12)
Uдиаг Y U S,

где Uдиаг – диагональная матрица, p-й элемент которой равен комплексу напряжения p-го узла;

S – вектор-столбец комплексов узловых мощностей.

Для системы, состоящей из n узлов, уравнения узловых напряжений могут быть записаны в виде:

2						p 1, 2, , n 1,
							(9.13)
U p	Y pq U p Y pq U q S p ;
	q		q

где U2p – квадрат модуля комплекса напряжения узла p.

Уравнение (9.10) и (9.12) является точным физико-математическим фор-

мулировками идеальных решений уравнений установившегося режима в форме узловых балансов токов и мощностей по 1 закону Кирхгофа.

Иначе их называют положениями электрического равновесия. В том смысле, что набор значений узловых напряжений в алгебраической или пока-

зательной форме отвечающие этим уравнениям соответствуют нулевым ба-

лансам токов и мощностей.

Рассматривая принцип возможность решений этих уравнений можно от-

метить их нелинейную структуру. В самом деле правые части уравнения

(9.10) и (9.12) зависят от искомых узлов напряжения следовательно с фор-

мальной точки зрения их можно переписать в виде:

Y U J (U ) 0			(9.14)
			(9.15)
Uдиаг Y U S(U )

Для системы уравнений установившегося режима электрической сети принципиально могут быть решены любым математическим способом реше-

ния систем нелинейных уравнений. К таким способам решения, нашедшим широкое применение в расчетах режимов сложных электрических сетей, от-

носятся: градиентные методы, метод Гаусса-Зейделя, метод Ньютона-

Рафсона и модификации этих методов.

Все названные методы являются приближенные имеют итерационную структуру. Сущность её состоит в том, что на каждом шаге (итерации) суще-

ствует некоторая совокупность значений в нашем случае узловых напряже-

ний которые отвечают названному выше положению электрического равно-

весия. Т.е. для них в узлах не выполняются уравнения первого закона

Кирхгофа соответствующие суммы узловых токов I = I1+j I2 и узловых мощностей S=ΔP + j Q, где соответственно I1, I2 и P, Q –вещественные

и мнимые значения этих сумм получивших название узловых небалансов. По вещественным и мнимым значениям токов и активным и реактивным значе-

ниям мощностей.

Каждый из итерационных методов тем или иным способом, который определяется сущностью конкретного итерационного метода, формирует на названном шаге (итерации) новую совокупность значений узловых напряже-

ний в каждом случае различны, общим для всех итерационных методов явля-

ется необходимость выполнения оценки её качества. Под улучшением каче-

ства в данном случае понимается приближения положения электрического равновесия. Если качество решения на последовательных итерациях улучша-

ется, то процесс считается сходящимся. Если улучшений нет или качество ухудшается, то процесс считается расходящимся.

Сущность итерационных процессов и её оценка

Используя данное выше определение сходимости можно сформулировать принципиальные положения её определения.

Теоретическим условием сходимости итерационного процесса решение уравнений установившегося процесса в узловой форме является существова-

ние пределов для каждого узлового напряжения при неограниченном количе-

стве итераций.

	(и)
U p lim U p , р = 1,2,3,…n		(9.16)
	U