04 АЗЭ Лабораторные работы / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Алгоритмы решения топологических задач, использующие метод условных потенциалов

Цель работы: Определить состав замыкающих ветвей и дерева схемы сети. Построить системы контурных уравнений в табличной и матричной форме. В стандартном математическом пакете получить решение УУР сети с помощью метода Гаусса.

Расчетное задание:

1.Составить алгоритм расчёта режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов.

2.В стандартном математическом пакете по методу ускоренной итерации получить решение систем нелинейных узловых уравнений (заданных в форме баланса токов) электрической сети.

3.Результаты расчетов перевести в табличную форму и сделать анализ сходимости итерационных процессов.

3.1. Математическая характеристика уравнений установившегося режима

Особенности уравнений установившихся режимов электрических систем:

-многомерность систем уравнений;

-слабая обусловленность, в расчетах многих схем, матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей и матрицы контурных сопротивлений, т.е. близость к нулю определителей этих матриц detYy, detZк;

-нелинейность уравнений, вызванная нелинейным характером связи параметров режима.

Обусловленность матрицы характеризует величину определителя матрицы. Для слабо обусловленной матрицы A определитель близок к 0, т.е.

detA 0

Для матрицы Y , как известно, detY = 0 , т.е. имеем вырожденную матрицу для полной схемы сети, включая балансирующий узел. Эта матрица перестает быть вырожденной, когда какой-либо узел сети, в соответствии с физическим смыслом задачи расчета режима, принимается за балансирующий и соответствующая строка удаляется из матрицы Y . Тогда получаем, что detY 0.

Практическое значение характеристики обусловленности матрицы узловых проводимостей состоит в том, что в плохо обусловленной матрице Y detY 0, и малым изменениям в элементах исходной матрицы Y соответствуют большие изменения в элементах обратной матрицы Y-1 и,

1

следовательно – малые отклонения заданных режимных параметров вызовут большие изменения искомых характеристик режима (падения напряжения на ветвях и потоки мощности в ветвях), т.е. наблюдается текучесть параметров режима. Покажем это для узловых уравнений:

Y U		J	y		U		Y 1 J	y	(85)
		Y 1		1	[Aij		]		(86)
				det Y

где Аijy – союзная (или присоединенная) матрица к Y, составленная из алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы Y.

3.2. Характеристика методов решения систем уравнений установившегося режима

Методы решения систем уравнений делятся на точные и итерационные. Точные методы имеют конечные алгорифмы. К точным методам относятся решение систем уравнений путем обращения матриц коэффициентов, различные методы группы исключения неизвестных (схема единственного деления, метод исключения с выбором главного элемента, схема Жордана и др.), в общем случае называемые методом Гаусса. Согласно методу Гаусса, при прямом ходе производится исключение неизвестных и матрица системы приводится к треугольному виду. При обратном ходе последовательно вычисляются неизвестные.

Применение метода Гаусса к решению систем уравнений установившихся режимов со слабо заполненными матрицами имеет тот недостаток, что в процессе исключения неизвестных свойство слабой заполненности матрицы теряется, то есть вновь появляется большое число ненулевых элементов. Это не только требует дополнительного объема памяти, но и снижает быстродействие программы. Проблема отчасти решается за счет выбора оптимальной стратегии исключения неизвестных, приводящей к минимальному количеству появляющихся ненулевых элементов. Для этого на каждом шаге исключения за ведущий (исключаемый) принимается тот элемент, который имеет минимальное число связей, то есть минимальное число ненулевых элементов в строке.

Эта проблема особенно актуальна для узловых уравнений, имеющих слабо заполненную матрицу большой размерности. Минимальное число элементов в строке матрицы узловых проводимостей равно 2 - одна собственная проводимость yii и одна взаимная yij. При линейных комбинациях со строками в процессе исключения неизвестных в первую очередь исключают узлы, имеющие минимальное число связей – одну связь и два элемента в строке матрицы Y – так называемые висячие вершины графа. Далее исключают узлы, имеющие по две связи и т.д. Исключение элементов из системы узловых уравнений с матрицей узловых проводимостей соответствует исключению узлов в схеме по методу преобразования сети. При этом, как известно, нагрузка исключаемого узла разносится в

2

прилежащие узлы, а проводимости (сопротивления) связей преобразуются по формулам метода Гаусса. В общем случае n-лучевая звезда преобразуется в n-угольник. Такой алгоритм исключения реализован в широко распространенной программе МУСТАНГ, разработанной в 80-90-х годах в ОДУ Северо-запада ЕЭС СССР (г. Рига) совместно с ведущим НИИ в электроэнергетике – Сибирским энергетическим институтом Сибирского отделения АН СССР. Следует заметить также, что программы решения узловых или контурных уравнений по методу исключения неизвестных значительно сложнее, чем по методу итерации.

3

3.3. Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима

В итерационных методах (или методах последовательного приближения) решение X системы уравнений

A X B	(87)
получают как предел сходящейся последовательности	значений
X (1) , X (2) ,..., X (k )
X lim X (k )	(88)
k

Если эта последовательность значений сходится, то разность между двумя соседними приближениями при достаточном числе итераций становится меньше заданной точности расчета х

X (k ) X (k 1)

x

(89)

Здесь (89) – признак сходимости итерационного процесса. Для применения итерационных методов необходимо:

- выбрать вектор начального приближения X (0) :

X (0) x(0)	x(0)	x(0)	T	;
1	2	n
- построить рекуррентное соотношение вида:
X ( X ) ,				(90)
где φ – оператор рекуррентного соотношения, (который для
сходимости должен быть оператором сжатия);
- организовать циклические вычисления:
X k ( X k 1 )				(91)

Особенности и достоинства итерационных методов зависят от способа подготовки системы к итерации, т.е. от алгоритма итерационного процесса

(90), (91).

Построим рекуррентное соотношение для системы уравнений (87). Для этого разрешим уравнения системы (87):

a11x1 +a12 x2 + +a1n xn = b1
	21x1	+a22 x2	+ +a2n xn = b2
a
		+an2 x2	+ +ann xn = bn
an1x1

Относительно диагональных неизвестных:

x

b1

0 x

a12

x

a13

x

1

a11

1

2

a11

3

a11

b

a

a

x2

2

21

x1

0 x2

23

x3

a22

a22

a22

x

bn

an1

x

an2

x

an3

x

n

ann

ann

1

ann

2

ann

3

или в общем виде:

4

a1n xn

a11

a2n xn

a22

0 xn

(92)

(93)

X X

(94)

Выражение (93) представляет систему уравнений, подготовленную к итерации, или развернутую запись рекуррентного соотношения (91), когда φ – линейный оператор.

Здесь X, α, β очевидны из (93), (94).

Итерационный вычислительный процесс по схеме (93), (94) вида X k ( X k 1 ) ведет к решению (88), если выполняются условия теоремы сходимости итерации:

Для сходимости итерационного процесса решения линейной системы уравнений A X B , подготовленной к итерации в виде X X , необходимо и достаточно, чтобы наибольшее по модулю

собственное значение (число)			матрицы системы,		подготовленной к
итерации
	max , было бы по модулю меньше 1.
				1	(95)
		max

Условие (95) – труднопроверяемое в силу сложности самой задачи нахождения λ – собственных значений матрицы α (λ1, λ2, … , λn), которые являются корнями характеристического полинома матрицы α, получаемых путем раскрытия характеристического определителя:

	0
	21
где D det E det		22
	...
		n1
		nn

		D 0									(96)
	12	...	1n
	11		11
0 ...			2n
						C n C n 1		... C		C	,
				22					n 1
						0	1			n
... ... ...
n2
		...	0
	nn

C - коэффициент характеристического полинома, получаемый при раскрытии характеристического определителя.

Поэтому используют более доступную числовую характеристику сходимости для таких регулярных матриц как матрицы уравнений установившегося режима Yу и Zконт – канонические нормы матрицы m, l, или k-норма. Причем известно (доказано), что любая каноническая норма больше

любого собственного значения матрицы m max , l max , k max . Тогда теорема о достаточных условиях сходимости формулируется:

для сходимости итерационного процесса решения

линейной системы

A X B

в виде

X (k ) X (k 1)

достаточно,

чтобы какая-либо

каноническая норма матрицы α была по модулю меньше 1.

l

1,

m

1,

k

1,

(97)

n

n

где

l

max

ij

;

m

max

ij

;

k

ij

2

i

j 1

j

i 1

i, j,n

5

3.4. Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов

3.4.1 Доказательство теоремы сходимости итерации

Итерационные процессы – это численные методы решения уравнений, и их эффективность зависит от числовых характеристик матриц коэффициентов системы уравнений. Обе числовые характеристики, упоминавшиеся в теореме о сходимости итераций, формулируют условия сходимости для матрицы системы, подготовленной к итерации, в виде (93),

(94).

0

a12

a1n

a

a

11

11

a21

a2n

X X

0

X

(98)

a

a

22

22

an1

an2

0

ann

ann

Для доказательства теоремы сходимости:

Зададимся начальным приближением X (0) и запишем следующие четыре приближения (для выявления общих закономерностей):

X (1) X (0) , X (2) X (1) , X (3) X (2) , X (4) X (3) .

Подставив X (1) , X (2) ,				X (3) в выражение для X (4) , получаем
X (4) ( ( ( X (0) ))) ( 2								3 X (0) )	(99)
2 3 4 X (0)
В общем виде
	X (k ) (E 2 ... (k 1) ) k X (0)								(100)
Найдем предел X (k )				при k . Как известно,			предел суммы равен
сумме пределов
lim X (k )	lim		(E 2 ... (k 1) )			lim	k X (0)		(101)
k	k					k

В выражении (100) скобка представляет сумму членов матричного степенного ряда, с основанием . Этот ряд сходится и его сумма имеет предел, если выполняются условия сходимости

необходимое и достаточное условие сходимости:

1;

(102)

max

достаточное условие сходимости:

1;

(103)

Тогда эта сумма определится по аналогии с суммой членов

геометрической прогрессии с основанием

q

1 .

Для геометрической прогрессии с числовым основанием q

6

			(1 q q2 q3			qn )		1	.
						1		q
Для степенного матричного ряда с основанием
			(E 2 ... k 1 ) (E ) 1							(104)
Предел второго слагаемого в выражении (100) k X (0)										при k равен
нулю, т.к.			1
	max
			lim k X (0) 0 .							(105)
			k
Подставив (104) и (105) в (100), получим
			lim X (k ) (E ) 1 0							(106)
			k
Умножим левую и правую части уравнения на (E ) и учитывая, что
lim X (k ) X		получаем
k
			(E )X		(E )(E ) 1
			X X X X							(107)

Ввыражение (107) X соответствует неподвижной точке

последовательности или точному решению системы уравнений, т.е. пределу

lim X (k ) , когда дальнейшего изменения значения	X в ходе итерационного
k
процесса не происходит.

3.4.2 Следствия из теоремы сходимости итерации

Достаточное условие сходимости итерации (103) позволяет получить важные следствия о соотношении диагонального и суммы побочных элементов матрицы, которое должно иметь место для сходимости итерационного процесса решения уравнений применительно к узловым уравнениям установившегося режима.

Матрица системы узловых уравнений, подготовленной к итерации (см.(98)), имеет вид

						y		y
		0				12			1n
						y		y
						11			11
y			21			0		y	2n
y22								y22
yn1						yn2
							0
						ynn
ynn

а достаточное условие сходимости по норме запишется

n

yii yij j 1

и должно выполняться для всех узлов сети i = 1,2,…,n.

7

(108)

(109)

Неравенство (109) выражает достаточное условие сходимости итерации для системы узловых уравнений: для всех узлов сети собственная проводимость узла yii должна быть больше суммы модулей взаимных

n

проводимостей yij . Это условие не выполняется.

j 1

Однако для тех узлов сложной схемы, которые связаны с балансирующим узлом, диагональный элемент матрицы Y, т.е. собственная

проводимость узла yii , равен
yii yij yiб ,	(110)

благодаря чему для строк матрицы, которые имеют связь с балансирующим узлом

yii yij ,

(111)

причем именно на величину проводимости линии yiб , которая связывает i-й

узел с балансирующим.

Благодаря выполнению соотношений (110), (111) для узлов, связанных с балансирующим, выполняется необходимое и достаточное условие

сходимости итерации (102), связанное с собственными значениями		,
	max

хотя достаточное условие сходимости по норме (103) и не выполняется.

3.4.3 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов

Выделим схемные факторы, обусловленные конфигурацией и параметрами схемы, и режимные факторы, обусловленные нагрузками и искомыми параметрами рассматриваемого режима.

Схемный фактор, влияющий на сходимость итерационного процесса, проявляется для схем переменного тока, содержащих продольные емкости и поперечные емкости линий сети на землю, представленные проводимостями yc, имеющими противоположные по отношению к индуктивным сопротивлениям (хL) и проводимостям (yC=1/хC) ветвей знаки (как

реактивные сопротивления)	jyij L jyij C при r,yij а 0
yii р yij р							(112)
Диагональный элемент		yii		уменьшается, следовательно
				yii		yij	(113)

Наличие поперечной емкостной ветви на землю способствует размаху колебаний напряжений в данном узле в итерационном процессе (если итерационный процесс для математической модели режима рассматривать как соответствующий переходный процесс при отклонении напряжений на U (0) в электрической сети). Тогда можно сказать, что итерационный процесс происходит пошаговым методом, где шаг соответствует одной итерации.

8

1)

2)

P-j(Q-Qкy)

Iл

P-j(Q-Qку-U2iУc12/2)

Ус12/2

2

Ус12/2

Ui

U2

1

У12/ (I2Rл)

2

U1

P-jQ

Qку

x c

U

yc

P-jQ

Qку

Рис. 6

Емкости на землю имеются у всех ВЛ и КЛ. Они участвуют в балансе реактивной мощности в системе и в целом улучшают установившиеся режимы электрической сети. Но созданные данными емкостными проводимостями мощности Qc зависят от квадрата напряжения Qc = УсU2 и по аналогии с ШКБ способствуют размаху колебаний напряжения на линии в ходе итерационного процесса. Соответственно, и при определении диагонального элемента матрицы, емкостная проводимость на землю способствует появлению соотношения (113). Для линейных систем узловых уравнений наличие емкостей – это тот основной схемный фактор, который ухудшает сходимость. Но этому фактору противостоит наличие ветвей, связывающих балансирующий узел со схемой, имеющих проводимости yiб .

Это реальные линии и трансформаторы, и если их сопротивления не велики, а проводимости большие (т.е. с запасом обеспечивают выдачу необходимой мощности от балансирующего узла в схему), то в целом сходимость обеспечивается, поскольку получается max 1, и установившиеся режимы

успешно рассчитываются. Получается, что даже в линейной постановке задачи расчета режима, факт и скорость сходимости зависят от параметров искомого режима.

В сетях электрических систем нагрузки задаются в мощностях. При этом соответствующие уравнения (узловые, контурные и др.) нелинейны, и возникают режимные факторы, влияющие на сходимость. Они тем весомее, чем ближе искомый режим к предельно допустимому по условиям устойчивости параллельной работы синхронных машин (генераторы электростанций) и устойчивости работы асинхронных машин (двигатели нагрузки) в электрической системе.

3.4.4 Критерии сходимости и анализ сходимости нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов

Нелинейные уравнения баланса токов в узлах

	S	i
Y U				(114)
Ui
9

систем

(119)

X . Эта

могут быть представлены в виде неявной вектор-функции небаланса F(U), которая обращается в 0 при подстановке в левую часть точного решения системы – вектора напряжений узлов U.

В общем виде эти уравнения запишутся в виде:

	F(U ) 0		(115)
Обобщенная математическая запись системы нелинейных уравнений
	F( X ) 0 ,		(116)
где
f1	( X )
F ( X ) f2	( X )	X [x1, x2 ,..., xn ]	(117)
	...
fn	( X )

Нелинейная система (116) готовится к итерации в виде рекуррентного соотношения.

X ( X )

(118)

где - оператор рекуррентного соотношения (или оператор нелинейного отображения).

Критерии сходимости при решении системы нелинейных уравнений записываются для матрицы, составленной из частных производных от оператора нелинейных отображений по искомым переменным

матрица состоит из элементов i и называется матрицей Якоби:

x j

				1
					x
					1
	i			2
					x1
J
x j
				...
					n
					x
					1

1 ...

x2

2 ...

x2

... ...

n ...

x2

1xn2xn

...

n

xn

Матрица частных производных J для случая линейных уравнений соответствует матрице системы, подготовленной к итерации (108). Поэтому критерии сходимости сформулированы аналогично теореме сходимости итераций для линейных систем уравнений: также можно использовать достаточные условия (по норме матрицы Якоби) и необходимые и достаточные условия (по наибольшим собственным

значениям матрицы Якоби J max ).

Теорема: для сходимости итерационного процесса решения нелинейной системы F( X ) 0 с помощью рекуррентного соотношения X ( X ) необходимо и достаточно, чтобы на всей траектории итерационного процесса от начального приближения X(0) до решения X* наибольшее по модулю собственное значение матрицы частных производных (матрицы

10