04 АЗЭ Лабораторные работы / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5-6

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Алгоритмы табличного представления и анализа режимов ЭСС.

Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем.

Цель работы: изучить алгоритмы табличного представления режимов ЭСС, получить практические навыки применения контурных уравнений в задачах расчета установившихся режимов с использованием матрицы коэффициентов распределения и метода Гаусса.

Задание: в среде стандартного математического пакета сделать расчёты режима электрической сети при задании нагрузок в токах 2.1Расчёт режима электрической сети по узловым уравнениям с

использованием метода исключения неизвестных Гаусса; 2.2Расчёт режима электрической сети на основе контурных уравнений; 2.3Сравнить полученные результаты расчета режима ЭСС.

Краткие теоретические сведения

2.1 Вывод контурных уравнений

Контурные уравнения выводятся на основе II-го закона Кирхгофа для всей сети:

N UВ 0 ,

(44)

где UВ – вектор-столбец падений напряжений по ветвям сети, выражаемых по закону Ома для сети в целом как:

UВ	dZВ IВ EВ	(45)
Подставляя выражение для	Uв из (45) в (44), получим развернутую
запись 2-го закона Кирхгофа для сети в целом:
N dZВ IВ N EВ 0		(46)

Из одного этого выражения, как известно, нельзя найти токи ветвей IВ ,

так как уравнений в (46) - k (по числу контуров-строк матрицы N), а неизвестных в векторе IВ - m (по числу ветвей), и m>>k.

Для

преодоления этого

несоответствия учитывают

подстановку

I

В

Iα I T

и токи в дереве сети выражают через токи в хордах или контурные

β

токи Iβ, тем самым понижают число неизвестных в выражении (46).

Токи в дереве сети I

получим из выражения для 1-го закона Кирхгофа

M I M I JУ

(47)

I

M 1

J

У

M 1

Mβ I

(48)

1

Ранее из основного свойства направленного графа было получено, что

N M T M T 1

(18). Если транспонировать подматрицы N

, в правой части

сомножители поменяются местами:

NT M 1 M

(49)

С учетом этого соотношения (49) выражение для токов дерева сети (48)

упрощается:

I

M 1 J

У

NT I

(50)

Отсюда следует, что для нахождения токов в дереве сети I достаточно

определить

токи

в хордах

I , то

есть

решить систему

уравнений k-го

порядка, где k – число независимых контуров, которое, как известно, k<n<m. Таким образом, удалось существенно понизить порядок решаемой системы уравнений для расчета токораспределения в сети.

Выражение (50) отражает принцип наложения при расчете токов. Составляющая M 1 J y дает нам токораспределение в дереве данной сети

без учета токов хорд, а вторая составляющая NT I учитывает влияние токов

хорд на токи в дереве сети при замыкании хорд. Тогда полное токораспределение в схеме соответственно определится:

Iα	Mα 1
Iв
Iβ	0

NТ
Jy Тα		Iβ	(51)
Nβ

Примем во внимание, что
N		E ,	M-1	=C	, N E	В	E	(52)
				0			К
где EК - вектор-столбец			контурных				ЭДС,	представляющих собой

алгебраические суммы ЭДС ветвей Ев по независимым контурам.

Ввыражение 2-го закона Кирхгофа (46) подставим токи ветвей Iв из

(51)и EК из (52). Получим:

N dZВ		M 1			Jy
			α
		0

Т	I
Nα			E		(53)
Т		β		К
Nβ

Раскроем скобки:

N dZВ	M 1			JУ	N dZВ	NT I EК	(54)
		α
	0
Произведение матриц:
			N dZВ NT ZК				(55)

называют матрицей контурных сопротивлений, которая является квадратной и неособенной. Подставим ZK в (54) и упростим:

N dZВ	M 1			( JУ ) ZK I EК
		α				(56)
	0
Выражение (56) имеет матрицу					ZK квадратную, неособенную. Оно
связывает независимые	режимные				характеристики	( JУ , EК N EВ ),
				2

параметры и конфигурацию сети ( ZВ , N, Mα ) с зависимыми характеристиками режима I - (токи хорд), и может быть решено относительно токов хорд I .

I Z			M 1
	К1 EК	N dZ	В	α		JУ	(57)
			0

Тогда токи в дереве сети I определятся по (50) и задача нахождения

токораспределения в линейной постановке, то есть при задании нагрузок узлов в токах JУ , решена полностью. Напряжения в узлах определятся по

известному напряжению в балансирующем узле UБУ и найденным токам

Iα

ветвей IВ Iβ

U Z I , U У M T 1 U ,

UУ n UБУ U У .

2.2 Определение и характеристика матрицы контурных сопротивлений

Матрица контурных сопротивлений (55) имеет также вполне регулярную структуру, как и матрица узловых проводимостей. Матрица контурных сопротивлений имеет порядок, равный числу независимых контуров. Ее диагональные элементы Zii представляют собой алгебраические суммы сопротивлений ветвей, входящих в данный i-й контур, а недиагональные Zij – алгебраическую сумму сопротивлений, общих для контуров i и j.

При использования принципа ярусности формируется система контуров, в которой каждая хорда входит только в один контур и направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в хорде - тогда матрица N - единичная.

Для схемы (рис. 5) и матрицы N табл. 2 матрица контурных сопротивлений имеет вид:

		(z1 z 2 z V )
			(z1	z 2 )
	z k
				0
			(z1	z 2 )

(z1 z 2 )	0	(z1 z 2 )
(z1 z 2 z3 z VI )	z3	(z1 z 2 z	3 )
z3	(z 4 z3 z VII )	z3
(z1 z 2 z3 )		(z1 z 2 z3 z5
	z3		z VIII )

Проанализируем соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы контурных сопротивлений.

	zii		zij	(58)

Для так называемой канонической системы контуров

3

UНАЧ

UБУ

		(z1 z2 zV )
			zV
	zk
			0
			0

	zV	0	0
	(z3 zV zVI )	z3	zVI
	z3	(z3 z4 zVII )	0
	zVI		(zVI zV
		0		zVIII )

т.е.

zii zij , zii zij z i (59)

Всегда обеспечивается преобладание диагонального элемента zii над суммой недиагональных элементов zij .

Как указывалось выше, система уравнений (56) может решаться путем обращения матрицы ZK по выражению (57) или любым другим способом

решения системы линейных уравнений, а именно: группа методов исключения неизвестных (метод Гаусса), или итерационными методами решения систем линейных уравнений, т.е. методом простой или ускоренной итерации. Особенностями системы контурных уравнений установившихся режимов по сравнению с системой узловых уравнений является более низкий порядок решаемой системы, т.к. (k << n) число контуров в схеме значительно меньше числа узлов в сети.

Но при решении линейных контурных уравнений итерационным методом начальные приближения неизвестных - токов хорд - не определены, отсутствуют данные для более или менее точного задания токов хорд. По сравнению с системой контурных уравнений, для системы узловых уравнений при их решении итерационным методом относительно напряжения в узлах, выбор начальных приближений облегчен, или

UНАЧ UНОМ .

В целом задача расчета режима реальной электрической сети с большим числом элементов остается многомерной. Контурные уравнения также нелинейны при задании нагрузок в мощностях.

2.3 Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров

Обратимся к уравнениям состояния сети (54), (55) по законам Кирхгофа.

Представим матрицу коэффициентов системы A-1 в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узлов n и числу контуров k схемы

замещения:				A 1 C D		(60)
Тогда:
IВ	A-1 F C D		J y		C J y D N E C J y YВ EВ	(61)
		N E
				В

Здесь YВ D N - квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементы yij определяют

4

величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС j-ой ветви и называются взаимными проводимостями, а элементы уii определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС Еi этой же ветви i-ой ветви и называются собственными или входными проводимостями.

При отсутствии ЭДС ветвей (Eв = 0), выражение (61) обращается в
IВ C JУ ,	(62)

откуда наглядно виден смысл матрицы С и её элементов.

C — матрица порядка m n , называется матрицей коэффициентов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произвольный элемент cij представляет собой долю от тока j-го узла, протекающего по i-ой ветви:

n
IВi cij J j ,	(63)
j 1
где cij — элемент матрицы коэффициентов распределения C;	IВi — ток i-ой
ветви; J j — задающий ток j-го узла.

Матрицы С, D и Yв, вычисляются путем обращения матрицы А с помощью разбиения на блоки, и следовательно - представляют собой линейные комбинации блоков матрицы А, показанных в (53). При этом С и Yв могут быть выражены как на основе узловой модели сети

Z 1

0

M T

Yy 1 dZВ 1

M T Yy 1 ,

C

0

Z

1

T

(64)

M

где

Y 1

— обратная

матрица

собственных

и взаимных узловых

y

проводимостей;

так и на основе контурной модели:

C

M

1

NT

Zk 1 N dZВ M 1

(65)

C

C

0

где Zk 1 — обратная матрица контурных сопротивлений.

Получение выражений (64) и (65) приведено в [1].

Выражения (64), (65) показывают, что процедура нахождения матрицы С достаточно громоздкая, но проведенная один раз, эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выражениям (55), (61) вручную или на ЭВМ с высоким быстродействием . После нахождения токов ветвей остальные параметры режима рассчитываются по известным формулам.

Правильность выражений (64), (65) и результатов конкретных вычислений матрицы С по этим выражениям можно проверить по выражению:

M C E ,

(66)

Как видно, в (65) обращаемая матрица контурных сопротивлений имеет меньший порядок, чем матрица узловых проводимостей в (64), и возможно – вычислительная процедура по (65) проще.

5

Выражение (66) можно получить, если в I-ый закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (55) M C JУ JУ , следовательно M C E .

Логика выражения (64) наглядно видна, если в выражение (62) подставить С из (64):

I dZ 1 (M T (Y 1 ( J )))

В В y У (67)

U

UВ

IВ

Аналогично можно показать логику выражения для матрицы С на основе контурной модели сети:

C J

M

1

N T Z

1 N dZ

M

1

J

У

К

В

У

0

Раскроем скобки в правой части:

C JУ	M		1	JУ
		0
IВ

I '

N T Z	К	1 N		dZ		В	M
							U '
						U '
					I
			I ' '
			I

IВ

(68)

1 JУ

I '

Здесь I ' – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, обусловленных задающими токами при отсутствии хорд;

I '' – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, вызванных замыканием хорд;

U ' - вектор-столбец падений напряжений в ветвях дерева, вызванных составляющих токов I ' ;

U ' - вектор-столбец алгебраических сумм падений напряжений по

ветвям дерева, входящих в контур.
I		I '		I ''			(69)
IВ I '					I ''
							(70)
				I

2.4 Расчёт режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения

Матрица коэффициентов распределения C позволяет найти токораспределение в схеме при известных задающих токах узлов:

6

IВ С JУ

(71)

Тогда остальные параметры режима определяются по очевидным

формулам

UВ dZВ IВ

(72)

где U

В

- матрица падений напряжения на ветвях схемы

U

В

=[ U

U

]T ;

dZВ

— диагональная матрица сопротивлений ветвей.

U M T 1 U

(73)

где U

— матрица падений напряжения на ветвях дерева схемы;

U

— матрица падений

напряжения в

узлах

сети

относительно

балансирующего узла.

UУ U n UБУ

(74)

Средние значения потоков мощности P и Q в ветвях без учета потерь:

PВ IВ Uном ,

(75)

где PВ — матрица потоков мощности по ветвям схемы.

Потери и потоки мощности в ветвях:

P dI

В

M T U

y

dI

В

U

КОН

U

НАЧ

P

P

,

(76)

В

КОН

НАЧ

где PВ

— матрица потерь мощности на ветвях схемы; dIВ - диагональная матрица то

P nT P ,

(77)

В

где P — суммарные потери мощности в сети.

P	nT P	P	,	(78)
БУ	ЗАД

где PБУ — мощность балансирующего узла.

Расчётные токи в узлах сети можно определить как
JР M IВ ,	(79)
тогда расчётные мощности узлов определятся по выражению
PP dUУ JР .	(80)
Небалансы мощности в узлах схемы можно рассчитать как
PНБ PР PЗАД ,	(81)

Формулы (71) – (78) дают алгоритм расчёта режима при задании нагрузок в токах. При задании нагрузок в мощностях организуется внешний

итерационный	процесс коррекции задающих токов узлов по	заданным
мощностям P	и рассчитанным напряжением (U (к))
ЗАД	у
	J (k ) dU у(k ) 1 PЗАД ,	(82)

где k - номер итерации.

Затем производится расчёт токов ветвей и напряжений узлов по формулам (71) – (74) и проверяется баланс в узлах по 1-му закону Кирхгофа (81). По формулам (79) – (80) определяются расчётные задающие токи и мощности в узлах. По выражению (81) определяется небаланс мощностей в

7

узлах схемы, значение которого (в %) сравнивается с допустимой относительной погрешностью p , %.

	P	P(k )
	ЗАДi	pi	100 p	,	(83)
	PЗАДi

где k - номер итерации; i - номер узла.

Если баланс мощностей в узлах выполняется с заданной точностью s, то в завершении расчёта определяются результирующие характеристики режима по выражениям (75) – (78) и расчёт заканчивается. В противном случае производится ещё одна итерация, и так до тех пор, пока не будет достигнут баланс с заданной точностью.

С помощью матрицы С можно приближённо за одну итерацию найти потокораспределение мощностей

				PВ С Pу	(84)
и потери мощности PВ	dZВ		P 2
		U		2 .
				В

НВ

Суммарные потери мощности P определяются по выражению (77).

При этом пренебрегают влиянием различия напряжений в узлах сети на потокораспределение.

На базе матрицы коэффициентов распределения C можно построить быстродействующий алгоритм оптимизации режима электроэнергетической системы по критерию минимума суммарного расхода топлива в энергосистеме на покрытие суточного графика нагрузок потребителей (с учетом расхода на пуск и остановы) при условии минимума суммарных потерь мощности в сети P min при вариации узловых генерирующих

мощностей PЗАД . Этот алгоритм является составной частью решения таких практических задач как:

-учёт сетевого фактора при оптимизации нагрузок электростанций, т. е. учёт изменения потерь в сети при перераспределении между электростанциями суммарной активной нагрузки потребителей;

-определение мощности имеющихся и дополнительных компенсирующих устройств по условию минимума потерь мощности в сети

( P min ) и при учёте ограничений по напряжениям узлов

(UMIN UУ UMAX ).

2.5Решение уравнений состояния методом Гаусса

Кчислу наиболее характерных вычислительных схем этого метода

относятся алгоритмы с обратным ходом и без обратного хода.

Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом. Решение системы n

линейных алгебраических уравнений вида

A x b

8

A(1) x b(1)

по этому алгоритму состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) исходная система за n однотипных шагов преобразуется таким образом, что матрица коэффициентов преобразованной системы становится верхней треугольной, т.е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. На втором этапе (обратных ход) последовательно определяются значения неизвестных от xn до x1 .

Алгоритм метода Гаусса без обратного хода. Решение системы n

линейных алгебраических уравнений по этому алгоритму осуществляется за один этап, в результате которого матрица коэффициентов A за n однотипных шагов приводится к единичной, т.е. система уравнений разрешается относительно искомых неизвестных, которые равны соответствующим элементам полученного в результате преобразований столбца в правой части системы.

На первом шаге вычисления выполняются точно так же, как и в алгоритме метода Гаусса с обратным ходом. Получаемая в результате этого преобразования система уравнений характеризуется тем, что первый элемент первого столбца матрицы равен единице, а остальные элементы столбца равны нулю.

На втором шаге, как и в предыдущем алгоритме, в качестве ведущего элемента выбирается диагональный элемент второго столбца матицы A(1) , т.е. a22(1) . Отличие состоит в том, что дополнительно преобразуется также и первая

строка матрицы A(1) , причем таким образом, чтобы элемент a12(1) обратился в

нуль.

Выполнение операций произвольного (k-го) шага соответствует преобразованию k-го столбца таким образом, чтобы его диагональный

элемент ( a(k ) ) стал равен единице, а недиагональные элементы – нулю.					В
kk
результате выполнения	последнего	шага	( k n) , на	котором
пересчитываются элементы	последнего	столбца	матрицы A(n 1)	и	все
элементы столбца b(n 1) , получаем матрицу		A(n) 1 и,	следовательно, x b(n) .

Факторы, влияющие на точность решения

К причинам возникновения недопустимо большой погрешности относятся следующие:

округление результатов вычислений;

неточность исходных данных.

Округление результатов вычислений. Выполнение вычислений по

методу Гаусса требует, чтобы ведущий элемент akk(k ) был отличен от нуля.

Значения ведущих элементов не могут быть оценены без вычислений, соответствующих последовательному пересчету элементов матрицы A в процессе решения. Может оказаться, что на некотором шаге ведущий элемент становится равным нулю при точных вычислениях или же близким к нулю при округлении результатов вычислений. В первом случае получить решение невозможно, а во втором – в связи с

9

исчезновением значащих цифр в ведущем элементе погрешность дальнейших вычислений может быть весьма велика.

Неточность исходных данных. При решении инженерных задач исходные данные всегда известны с некоторой погрешностью, определяемой конечной точностью измерения или вычисления параметров системы и ее режима. Как правило, для конкретных технических задач относительная погрешность результатов, получаемых при решении систем линейных алгебраических уравнений, соизмерима с погрешностями исходных данных. Однако могут быть случаи, когда погрешность исходных данных, т.е. значений элементов матриц A и b , приводят к чрезмерно большой погрешности решения. Причина этого состоит в так называемой плохой обусловленности матрицы коэффициентов системы уравнений, приближенным показателем которой является малость значения определителя матрицы A .

Вопросы для защиты лабораторной работы № 2

1.Что выражают контурные уравнения?

2.На какие подматрицы разделяются матрицы параметров электрической сети, параметров режима и матрицы инциденций?

3.В чем суть принципа наложения, применяемого при записи токов в дереве сети?

4.Как определить (записать) алгебраическую сумму падений напряжений по ветвям дерева сети?

5.Каковы свойства канонической системы независимых контуров?

6.Изложите порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в токах.

7.Объясните, как меняется порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях.

8.Дайте характеристику матрицы контурных сопротивлений.

9.Влияет ли выбор базисного узла на свойства матрицы контурных сопротивлений?

10.Запишите уравнение состояния сети по законам Кирхгофа.

11.Запишите решение уравнения состояния сети через матрицы обобщённых параметров.

12. Каков физический смысл элемента	матрицы коэффициентов
распределения?

13.Как посредством моделирования режимов сети (на ЭВМ или физической модели) определить элементы матрицы коэффициентов распределения?

14.Как определить потокораспределение мощностей без учёта потерь в сети с помощью матрицы коэффициентов распределения?

15.Как обратить матрицу с использованием разбиения на блоки, и что нам даёт это разбиение?

16.Поясните физический смысл элементов матрицы С.

10