для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 8. Ранг матрицы.Теорема Кронекера-Копелли
.pdfРанг матрицы вычисляется методом элементарных преобразований.
Известно что матрица размера mxn порождает несколько миноров, то есть матрица образованная из элементов расположенных на пересечении выбранных строк и столбцов. Среди этих миноров могут оказаться равные 0.
Определение. Рангом матрицы называется наибольшее из порядков миноров, порожденных данной матрицей и отличных от нуля.
Если ранг матрицы равен r, то это означает что существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка r и все миноры порядка r+1 и выше равны 0.
Если следовать определению ранга матрицы, то его вычисление сводиться к достаточно большому количеству определителей. Поскольку эта зада очень не продуктивная придумали способ вычисления ранга матрицы. Наиболее часто используется метод элементарных преобразований матрицы, которое сводиться к использование известных свойств определителей.
1.Простановка строк или столбцов
2.Исключение столбцов или строк полностью состоящих из 0.
3.Умножение строк или столбцов на R
4.Прибавление к элемента строк элементов других строк соответственно. Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразования называются
эквивалентными. Они имеют одинаковы ранг, Поэтому для вычисления ранга исходной матрицы, матрицу сводят с помощью элементарных преобразований единичной ранг которой равен её порядку. Этот метод легко реализуется на компьютерах с помощью стандартных программ.
Теорема Кронекера-Копелли Рассмотрим систему линейных уравнений общего вида, это значит, что число уравненй
и число неизвестных может быть различным(прим) Число переменных не равно числу переменных.
В этом случае некоторые неизвестные могут выражаться через другие с помощью параметра.
Рассмотренная матрица системы кроме массива матрицы А добавляються еще столбик свободных элементов. Поскольку размер матрицы В больше то ранг матрицы А меньше или равен рангу матрицы В.
Теорема утверждает что:
1.Если ранг А= рангу В и равен числу переменных то система имеет единственное
решение.
2.Если ранг А = рангу В и меньще числе переменных то система имеет бесконечное множество решений.
3.Если ранг матрица меньше ранга матрицы В то решений нет.
4.Теорема удобно потому что можно определить какое будет решение до того как решать систему.