Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 8. Ранг матрицы.Теорема Кронекера-Копелли

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
82.12 Кб
Скачать

Ранг матрицы вычисляется методом элементарных преобразований.

Известно что матрица размера mxn порождает несколько миноров, то есть матрица образованная из элементов расположенных на пересечении выбранных строк и столбцов. Среди этих миноров могут оказаться равные 0.

Определение. Рангом матрицы называется наибольшее из порядков миноров, порожденных данной матрицей и отличных от нуля.

Если ранг матрицы равен r, то это означает что существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка r и все миноры порядка r+1 и выше равны 0.

Если следовать определению ранга матрицы, то его вычисление сводиться к достаточно большому количеству определителей. Поскольку эта зада очень не продуктивная придумали способ вычисления ранга матрицы. Наиболее часто используется метод элементарных преобразований матрицы, которое сводиться к использование известных свойств определителей.

1.Простановка строк или столбцов

2.Исключение столбцов или строк полностью состоящих из 0.

3.Умножение строк или столбцов на R

4.Прибавление к элемента строк элементов других строк соответственно. Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразования называются

эквивалентными. Они имеют одинаковы ранг, Поэтому для вычисления ранга исходной матрицы, матрицу сводят с помощью элементарных преобразований единичной ранг которой равен её порядку. Этот метод легко реализуется на компьютерах с помощью стандартных программ.

Теорема Кронекера-Копелли Рассмотрим систему линейных уравнений общего вида, это значит, что число уравненй

и число неизвестных может быть различным(прим) Число переменных не равно числу переменных.

В этом случае некоторые неизвестные могут выражаться через другие с помощью параметра.

Рассмотренная матрица системы кроме массива матрицы А добавляються еще столбик свободных элементов. Поскольку размер матрицы В больше то ранг матрицы А меньше или равен рангу матрицы В.

Теорема утверждает что:

1.Если ранг А= рангу В и равен числу переменных то система имеет единственное

решение.

2.Если ранг А = рангу В и меньще числе переменных то система имеет бесконечное множество решений.

3.Если ранг матрица меньше ранга матрицы В то решений нет.

4.Теорема удобно потому что можно определить какое будет решение до того как решать систему.