для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 53.Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных

Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y) – это значит, что нужно решить задачу, что нужно решить задачу оптимизации, отыскать экстремумы этой функции, ставятся задача найти экстремум этой функции при условии, что х и у связаны некой функцией зависимости.

(x,y)=0. (1)

Уравнение (1) задано в неявном виде и называется уравнением связи. Определение. Экстремумы функции при наличии функциональной связей

называются условными.

Покажем геометрический смысл такой ситуации. Найти точку с координатами(х0 у0), лежащую на кривой (x,y)=0, в которой функция z=f(x,y) принимает max или min значения. Для поиска условных экстремумов разработан специальный алгоритм, называемые методом множителем Лагранжа.

F(x,y, )=f(x,y)+ * (x,y)

=-( f/ x)/ ( / x)=- ( f/ y)/ ( / y)

Запишем для функции Лагранжа необходимое условие экстремума.

f/ x=0; f/ y=0; f/ =0 – условие для функции Лагранжа.

f/ y+ *( / y) =0f/ y+ *( / y) =0f/ y+ *( / y) =0

Или учитывая правую часть решая систему мы найдем точку условного экстремума. Таким образом с помощью функция Лагранжа задача о поиске условного экстремума сводиться к задаче о локальном экстремум для функции Лагранжа.

Достаточные условия условных экстремумов используется очень редко и в нашем курсе не рассматриваем.