для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 15.Линейно зависимые и независимые системы векторов

Расмотрим систему векторов х1,х2,хn Z тогда выражение вида

(1)

Где R оно называется линейной комбинацией векторов. xi при i=1,n элементами которой являются вектора.

С подобным выражением мы встречались в 3-х мерном пространстве

(2)

Второе выражение.

Это уравнение отличается от первого только записью где а - коэфициэнты е

– вектора.

Выражение первое обожает выражение 2 на n-мерное прсотрансво

Опр. Векторы х1,х2,…,xn называются линейно независимыми, а линейная комбинация тривиальной, если выражение (2)= 0

возможно только при 1= 2=…= n=0

Система векторов х1,х2,…,xn называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов, т.е равенство (2) возможно хотя бы при одном i не равном 0 при i=1,n

Если вектора линейно зависимы, то хотя бы один из них выражается линейной комбинацией других. Пусти 1 не равна 0, тогда равенво один можно поделить на эту величину и в развернутом виде эта функции выглядит следующим образом.

Из полученного выражение выражаем х1 Получившееся Выражение показывает что вектор х1 линейно выражен

через остальные вектора.

Аналогично можно записать линейную зависимость и для других векторов. Сформулируем Теоремы Теорема 1: Если один из векторов линейно выражается через остальные то

вектора х1,х2,…,xn в совокупности являются линейно зависимыми Теорема 2: Если в систему входит нулевые вектора х1,х2,…,xn, 0 то

система линейно зависима Теорема 3. Для линейно зависимости 2 векторов необходимо и достаточно

что бы они были колениарными. Если два вектора не колениарны на плоскости, а два любых вектора не колениарных на плоскости не линейно зависимы.

Теорема 4. Для любых зависимы векторов необходимо и достаточно что бы они были колениарны, то есть их смешанное произведение должно быть равным

0

Теорема 5: Для линейно зависимости векторов х2 (е1,е2,е3) в многомерном пространстве необходимо и достаточно, что бы выполнялось условие.

=0

Теорема6. Для того что бы функция xi(t) Cn-1(a,b)на интервале аб былилинейно зависимы необходимо, что бы определитель Вронского был равен

0

Данный определитель является функцией зависящей от параметра t.