для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 51. Локальный экстремум
.pdfЛокальный экстремум.
Понятие локального экстремума для функции нескольких переменных вводиться аналогично тому как это сделано для функции одной переменной.
Рассмотрим функцию z=f(x,y)полное приращение
z=f(x,y)-f(x0,y0) 0 следовательно minz=f(x,y)-f(x0,y0) 0 следовательно max
Всякая дифференциальная функция нескольких переменных может достигать экстремума только в тех точках, в которых ее частная производная обращается в ноль.
Сформулируем необходимое условие экстремума( аналогично функции одной переменной)
fx’(x0,y0)=0; fу’(x0,y0)=0 Из условия найдем некие стационарные точкиР0(x0,y0), для которых функция
z=f(x,y) может иметь экстремум. Решив систему мы найдем эти точки.
Не все стационарные точки являются экстремумами, каждая из этих точек должны быть проверена на экстремум с помощью достаточного условия.
Достаточным условием сформулируем относительность определителя А:
1)А 0, Р0(x0,y0)- экстремума в точке нет
2)А=0,то вопрос об экстремумах остается открытым и потребуется вычисление производной более высоких порядков, что бы решить задачу.
3)А 0, тогда функция z=f(x,y) в точке Р0(x0,y0) будет иметь экстремум, причем если f’’xx0 то минимум, если наоборот то максимум.
Найденные таким образом экстремумы локальны и решение задач на определение локальных экстремумов относиться к разряду заданий на оптимизацию, при том оптимизация функции называется целевой.