для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 5.Метод крамера

МЕТОД КРАМЕРА

При решении методом Крамера используем определители n -го порядка. Пусть задана система (3). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

	a11	a12	...	a1n
	a21	a22	...	a2n	.
	an1	an2	...	ann

ТЕОРЕМА. Если определитель системы 0 , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

x x1		;	x	2	x2	;	… ;	x	n	xn ,
1
где определитель xi		может быть получен из главного определителя путем замены i -го

столбца на столбец из свободных членов.

ПРИМЕР 4.
x1 2x2 x3 4
		5x2		3x3 1.
3x1
	2x	7x	2	x	3	8
	1

Составляем главный определитель, элементами которого являются

коэффициенты при неизвестных:
		2	1
	1
	3	5	3
	2	7	1

и три вспомогательных определителя:
		2	1			1	4	1			1	2	4
	4
x1	1	5 3		;	x2	3	1	3	;	x3	3	5	1	.
	8	7	1			2	8	1			2	7	8

Определитель x1 составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях x2 и x3

соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

	1	2	1
	3	5	3	5 12 21 10 21 6 33;
	2	7	1

	4		2		1
x1	1		5		3			20 48 7 40 84 2 33 ;
	8		7	1
			4	1
		1
x2		3 1		3			1 24 24 2 24 12 33;
		2	8	1

		1	2
x3		3	5
		2	7

Неизвестные x1 , x2 ,

x1

x1

4 1 40 4 84 40 7 48 33. 8

x3 находим по формулам
x1 ;			x	2	x2				;	x	3	x3				;
	33	1;	x			33		1;		x			33		1.
				2							3
33					33							33

Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения (если 0 ).

Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений имеет единственное решение.