для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 22. Линейная матрица и его оператор в заданном базисе
.pdfЛинейная матрица и его оператор в заданном базисе.
Пусть заданы 2 множества Х и У и указав закон ставящий в соответствие всякому элементу х из Х единственный у взятый из У. Этот закон называться отображением множества Х в множестве У.
(1) А: Х
А-символ отображения
Оператор, функция, преобразования – это синонимы функции «отображения». В силу традиции каждый из терминов (операция, функция, преобразование) оказался связанным с определенным разделом математики. В частности в линейно алгебре отображения называют операторами( в мат анализе – функциями) например оператор А может переводить А: L L1. Результаты действия оператора А на элемент х называется образом элемента х и обозначается через у. у=АХ х L а у L1
Соответственно х называется прообразом элемента у.
Аназывается линейным оператором если выполняется следующие условия.
1.Условие аддитивности А*(х1+х2)=Ах1+Ах2
2.Условие однородности А*( *х)= *(А*х)
При =0 из условия однородности следует, что линейный оператор отображения (А:L L1) переводит нулевой вектор пространства L в нулевой вектор пространства L1
С помощью адитивности и однородности результат действий линейного оператора на линейную комбинацию произвольных векторов можно записать следующим образом
Если пространства L и L1 совпадают с множеством действительных чисел, то определение линейного оператора соответствует понятию числовой функции L=L1=R то у=f(x), От сюда следует , введение понятия оператора позволяет обобщить идею простейшей функциональной зависимости на самые различные множества элементов, в том числе на линейные пространства.
Рассмотрим линейный оператор А отображающий линейное пространство L в линейное пространство L1.
Если L=L1=R2(двумерное пространсво), то базис в двумерном пространстве будет оперировать единичными векторами е1 и е2 и векторы x(E1,E2) y(N1,N2) в этом случае в двумерном пространстве будут иметь следующее разложение
x=e1*E1+e2*E2 (3)
y=e1*N1+e2*N2 (4)
найдем связь между координатами Ni(i=1,2) вектора образа и координатами Ei(i=1,2) вектора прообраза считая что у=А*х.
считая оператор линейным, то есть свойства адитивности и однородности выполняются, после преобразования получим
N1=a11*E1+a12+E2
N2=a21*E1+A22*E2 (система уравнений 5)
В математической форме эта система равносильна уравнению у=А*х(6) ГД
(7)
Таким образом при наличии базиса результат действия линейного оператора А однозначно определяется матрицей А. Она называется матрицей линейного оператора в заданном базисе. Столбцы этой матрицы являются координаты образов базисных векторов. Если рассмотреть оператор А, отображающий трехмерное пространство с базисом (е1,е2,е3,) то координаты вектора
х=e1*E1+e2*E2+е3*Е3;
y=e1*N1+e2*N2+е3N3
в результате преобразований мы получаем систему аналогичную системе 5, систему 8
N1=a11*E1+a12+E2 +а13*Е3
N2=a21*E1+а22*E2+а23*Е3
N3=a31*E1+а32*E2+а33*Е3
А матрица линейного оператора в трехмерном пространстве имеет вид
Столбцами этой матрицы так же служат координаты образов базисных векторов.
Обобщая, можно сказать, что квадратная матрица А н-ного порядка, столбцами которой служат координаты образов базисных векторов , является матрицей линейного оператора А, отображающей н-мерное пространство в н-мерном заданном базисе.