для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 41. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций

Вычисление производных и дифференциалов сложных функций. Рассмотрим функцию двух переменных:

Z=z(x,y), заданную следующим образом. Z=f(U,V), где U=U(x,y), V=V(x,y). говорят, что записать (1) определяет сложную функцию 2-х переменных.

y=f(U) U=U(x), y’=y’U*U’x

Частная производная

z/ x=( z/ u)*( u/ x)+ ( z/ V)*( V/ x)(2)z/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ V)*( V/ y)(3)

От куда полный дифференциал равняется dz=( z/ U)dU+( z/ V)dV(4)

при рассмотрении формулы (4) замечаем её инвариантность(независимость) Запишем правила дифференцирования сложных функции можно обобщать на случай

большого числа переменных.

z=f(u,v,w) u=u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y)

частная производная.

z/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ v)*( v/ y)+( z/ w)*( w/ y)z/ x=( z/ u)*( u/ x)+ ( z/ V)*( V/ x)+( z/ w)*( w/ x)

Пусть в предыдущей функции w=y z=f(u,v,y) u=u(x,y), v=v(x,y)

тогда

dz/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ v)*( v/ y)+( z/ y)

Можно рассмотреть сложную функцию 1-ой переменной z=z(x) z=f(u,v) u=u(x,y), v=v(x,y).

Тогда

dz/dy=( z/ u)*(du/dy)+ ( z/ v)*(dv/dy)