Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
48
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
270.57 Кб
Скачать

Описательное объяснение термина «множество» - совокупность, объединение некоторых объектов, которые называют элементами множества. Элементами множества могут быть объекты различной природы: числа, функции, явления природы, вещи и т.п. И поэтому теория множеств будет иметь самое широкое приложение.

Например, говорят о множестве квадратов, множестве натуральных чисел, множество студентов группы и т.д. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, X, Z..., а их элементы - строчными: а, Ь, с, d, x, z, ... Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывают следующим образом: а А (читается: «а принадлежит Л», или «.а содержится в А», или «А содержит а»). Если а не принадлежит А, то записывают: а А

Среди различных множеств можно выделить конечные множества, которые содержат конечное число элементов или иными словами несколько элементов (пусть очень много). Число элементов конечного множества Л обозначают п(А). В противном случае множество называется бесконечным множеством, т.е. множеством, содержащим бесконечное число элементов.

Например:

-конечные множества:

-бесконечные множества:

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначают АсВ (читается: «А - подмножество В» или «А включается в В»).

1.Рефлексивность: А А, т.е. всякое множество является подмножеством самого себя.

2.Транзитивность: из того что А В и В С, следует, что А С.

3.Для всякого множества А справедливо А. Поскольку не имеет элементов, то естественно считать его подмножеством любого множества.

Само множество А и пустое множество называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Обозначают А = В.

Объединением (суммой) множеств Л и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Другими словами, если элемент принадлежит объединению множеств, то он принадлежит или А, или В, или обоим множествам одновременно.

Пересечением (произведением) множеств А и # называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В одновременно (рис-. 2.4). Обозначается Л п В.

Определение объединения можно записать в следующем виде:

А В = {х:х<аА и хеВ}

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими основными свойствами.

Коммутативность А В = В А; А В = В А,

1.Ассоциативность (A B) C = A (B C); (А В) С = А (В С).

2.Дистрибутивность (распределительность)

(А В) С = (А С) (В С); (А В) С = (Л С) (В С).

4.

Законы поглощения:

а)

А А = А;

б)

А А = А ;

в)

A = A;

г)

А = ;

д)

A U=U

е)

А U = U

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (рис. 2.7). Обозначается А \ В.

Определение разности можно записать в следующем виде: А\В = { х : х A и x B}

Упорядоченной парой называется два элемента, расположенные в определенном порядке. Упорядоченную пару с первым элементом а и вторым

элементом b будем обозначать символом (а, Ь). Элементы а и b пары называют ее компонентами.

Декартовым произведением двух непустых множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида (х, у), где л- е А, уе В. Обозначают А х В.

Декартовым произведением непустых множеств А\, Л2, ..., А„ называется множество всевозможных кортежей длины п, первая компонента которых принадлежит множеству А1, вторая - множеству А2…n - множеству А„.

МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА Понятие мощности множества связано с запасом элементов в этом множестве.

Мощность множества - обобщение на произвольные множества (как конечные, так и бесконечные) понятия «число элементов».

Взаимно однозначное соответствие -- соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества, а каждому элементу второго один и только один элемент первого множества.

Эквивалентные (равномощныё) множества - множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

Обозначение

А~В.

Отношение эквивалентности множеств обладает следующими свойствами. 1. Рефлексивность. Любое множество равномощно самому себе, т.е. А~ А.

2.Симметричность. Если множество А равномощно множеству В, то и множество В равномощно множеству А, т.е. если А ~ В, то В ~ А.

3.Транзитивность. Два множества, равномощные третьему, равномощны между собой, т.е. если А ~ В, В ~ С, то А ~ С.

Конечное множество - множество, которое не имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Следовательно, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов.

Бесконечное множество - множество, которое имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Получаем что, бесконечные множества могут быть эквивалентны. Бесконечное множество не может быть эквивалентно конечному множеству.

Теорема 1. Объединение конечного множества счетных множеств является счетным множеством.

Таким образом, объединив счетные множества и получив новое множество, мы можем пронумеровать эти элементы, т.е. сопоставить их множеству натуральных чисел.

Теорема 2. Множество рациональных чисел является счетным множеством.

Рациональные числа состоят из целых и дробных, числители и знаменатели которых есть целые числа, поэтому вес элементы можно пронумеровать.

А существуют ли множества большей мощности, чем счетное? Ответ дает теорема.

Теорема 3. Множество действительных чисел на отрезке [0,1 J имеет мощность, большую мощности счетного множества. Такое множество называется несчетным.

Теорема Кантора. Множество, элементами которого являются все подмножества некоторого множества А, имеет мощность, большую, чем мощность множества Л.