для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 21. поверхности 2 порядка

Если уравнение F(x,y,z)=0(1) представляет собой многочлен , то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью н-го порядка. Уравнение (1) записано в неявном виде. В явном виде его можно записать так: z=f(x,y)(2)-Уравнение поверхности в явном виде.

Геометрическая поверхность в трехмерном пространстве простейшей поверхностью является плоскостью с уравнением в общем виде Ax+Bx+Cz+D=0(3) плоскость 3 представляет собой алгебраическую поверхность 1-го порядка, т.к. она содержит неизвестные только 1 степени.

Уравнение поверхности 2 порядка записывается в самом общем виде так:

Ax2+By2+Cz2Dxy+Exz+Gyz+Ix+Ky+Lz+N=0(4)

Уравнение (4) представляет собой некую поверхность, которая может быть цилиндром, конусом эллипсоидом, параболоидом, гипербалоидом. В особых случаях может получиться мнимая поверхности, вырожденная в прямую линию или точку, или разложение на пару плоскостей. Мы эти исключения не рассматриваем и проведем свою систематизацию, названных выше поверхностей.

1. Если уравнение поверхности отсутствует одна из текущих координат, то мы имеем уравнение цилиндрической воерхности.

F(x,y)=0

В этом уравнении отсутствует координата 2, следовательно образующая этой цилиндрической поверхности будет параллельно оси ОZ

Если образующая параллельна ОУ, то её уравнение F(x,z)=0 и если парал. ОХ то

F(у,z)=0

Образующие цилиндра параллельны оси отсутствующей координаты. Форму и вид цилиндра определяет направляющая:

1)Если направляющую, представляет собой эллипс, то мы имеем эллиптический

		x 2		y 2	1
	цилиндр с уравнение	a2		b2		или в частном случае имеем круговой цилиндр с

уравнением x 2 y 2 R2

2)Если направляющая представляет собой гиперболу, то мы имеем

	гиперболический цилиндр с формулой	x 2			y 2		1
		a	2		b	2

3)

Если направляющая представляет собой параболу, то получим параболический

x2=2ру.

цилиндр с уравнением Канонические поверхности. Во вторую группу объединим поверхности, содержащие

квадраты всех 3-х текущих координат.

	x 2		y 2		z 2	1
1.	a 2		b2		c 2
	Эллипсоид.							В частном случае если а=в=с=R
			x 2	y 2			R2	сфера.
, будет иметь сферу радиусом R

x 2

y 2

z

2

1

2.

Однополосный гиперболоид

b2

a 2

c

2

3.

x 2

y 2

z2

1

Двуполостной гиперболоид.

b2

a2

c2

x 2

y

2

z 2

0

4.

Конус второго порядка

b 2

a

2

c 2

Мы привыкли к элептическому конусу, в частности круговому, но вообще говоря один и тот же конус можно считать и элептическим и гиперболическим и параболическим , так как при пересечении прямого круглого конуса плоскостями в сечении мы можем получить и эллипс и гиперболу и параболу (Е.Г .П.) Именно по этому Е.Г .П., называют коническими сечениями.

Рассмотрим эти сечения:

1.Проведем плоскость через одну плоскость при этом плоскость не является параллельно ни одной из образующей конуса. В сечении будет эллипс или в частном случае окружность.

2.Пусть плоскость пересечет обе плоскости конуса и мы получим гиперболы.

3.Если плоскость параллельно образующей конуса то мы будем иметь параболу. Рассмотрим свойства позволяют отнести эллипс, гиперболу и параболу к одному

семейству и охватить единым определением.

Опр. Каноническое сечениеэто геометрическое место точек, отношение расстояний которых до данной точки(фокуса) и до данной прмой(директрисы) есть величина постоянная и называется эксцентриситетом.

Е=r/d –эта формула едина и для эллипса, гиперболы, параболы и окружности.

Для параболы М2N2=M2F1 d=r от сюда следует E = M2F1/

М2N2=1

Для Элипс Е= M1F1/ М1N1 1 для окружности Е=0 Для гиперболы Е= M3F1/ М3N3 1

Движение небесных тел под действием притяжения солнца обязательно происходит по одному из рассмотренных прямых, в частном случае по прямой.

В третью группу объединим поверхности, содержащие квадраты переменных и первую степень третей переменной.

1.Элептический параболоид каноническое уравнение этой плоскости

x 2		y 2	z
2 p		2q

При р=q x2+у2=2рzуравнение параболоиды вращение. Параболоид вращение - основная поверхность которая используется в изготовлении телескопов при изготовлении зеркал в протекторах

2.	x 2	y 2	z	(седло) поверхность часто
	2 p	2q
Гипербалический параболоид

используется для строительных конструкциях