Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 6. Матрицы, Действия с марицами и их свойства

..pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
99.2 Кб
Скачать

МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрицей называется таблица вида

 

 

 

a

a

...

a

 

 

11

12

 

1n

 

a21

a22

...

a2n

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

am2

...

 

 

am1

amn

Число строк – m , число столбцов – n , m n – размерность матрицы. Если m n – матрица прямоугольная. При m n – матрица квадратная. Матрицы обозначаются большими

буквами латинского алфавита A ,

B ,

C … Квадратная матрица E называется единичной,

если она имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

1

0

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

...

0

 

 

=

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

...

1

 

 

 

 

 

т.е. на диагонали матрицы стоят единицы, а остальные элементы есть нули. Матрица mx1называется вектор столбцом или столбцевой матрицей. Матрица вида 1xn называется вектор строчкой или строчечной матрицей. Матрица называется нулей если все элементы в ней равны 0.

Транспонированной матрицей называют матрицу полученную заменой строк столбцами. Симметричной матрицей называют квадратную матрицу, для которой элементы симметричные относительно главной диагонали, равны.

Кососимметрической называют квадратную матрицу, для которой элементы, симметричны относительно главной диагонали и отличаются только знаком.

Матрицы можно складывать, вычитать, умножать матрицу на матрицу и матрицу на число. Эти операции называются линейными операциями над матрицами.

ПРИМЕР 6.

2

3 5

0

1

1

2

4

6

 

4

1 0

 

 

3

2

4

 

 

7

3

4

.

 

 

 

 

 

 

При сложении каждый элемент первой матрицы складывается с соответствующим элементом второй матрицы. Из правила сложения следует, что не всякие две матрицы можно сложить.

При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.

ПРИМЕР 7.

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

8

4

 

4

 

 

 

 

 

.

 

7

 

 

28

12

 

 

3

 

 

Две матрицы можно перемножать, но при этом число элементов в строке первой матрицы должно быть равно числу элементов в столбце второй матрицы, так как умножение

матриц осуществляется по следующему правилу: чтобы получить элемент Cij новой матрицы,

нужно взять i -ю строку первой матрицы и каждый элемент умножить на соответствующий элемент j -го столбца второй матрицы, результаты умножения сложить. Полученная сумма и

будет элементом Cij , т. е. умножение осуществляется по следующей схеме:

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

1 j

 

a

 

a

 

a

 

C .

 

a

 

a

 

b

 

b

b

b

 

i1

 

i 2

 

i 3

 

2 j

 

 

i1 1 j

 

i 2 2 j

 

i 3 3 j

ij

 

 

 

 

 

 

b3 j

 

 

 

 

 

 

 

 

Или это можно показать на такой схеме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножаем вторую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы. Сумма соответствующих произведений дает первый элемент во второй строке полученной матрицы. Стрелками показано, какие элементы надо перемножать. Заметим, что операция умножения матриц не всегда подчиняется коммутативному закону, т. е. AB BA.