для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 54. Производная скалярного поля по направлению. Градиент

Производная скалярного поля по направлению. Градиент.

Скалярным полем в области V называется скалярная величина U, принимающая в каждой точке V определенное значение. Можно сказать, что скалярное поле является функцией точки. U=f(M)=f(x,y,z). По этому числовые функции нескольких переменных при анализе физических проблем часто называются скалярными полями(поле температур, поле давления) Если функция зависит от 2-х переменных, то поле называется плоским U= f(x,y)

Определение. Геометрическое место точек, в котором переменная U принимает одно и тоже значение называется поверхностью уровня.

Уравнение поверхности уровня имеет вид U (x,y,z)=С , с = const, U (x,y)=С Поверхности уровня не пересекаются

U (x,y,z)=С1 U (x,y,z) =С2 и С1 С2

Если система имеет решение, то функция U многозначна.

Например изотерма в теплотехникеповерхность с одинаковой температурой. Эквипотенциальная поверхность - геометрическое место точек в электрическом поле,

которым соответствует одно и то же значение потенциала. Таким образом понятие поверхности уровня является инвариантным и используется в различных областях науки и техники.

Выясним, как измениться скалярное поле U, U= f(x,y,z), в окрестности произвольной точки М (x,y,z) по выбранному направлению вектор L=(cos , cos , cos ) ILI=1

Вектор ММ1= l=( x, y, z), запишем полное приращение функции U:U= f(x+ x, y+ y, z+ z)-f(x,y,z). Если функция U дифференцируема то :

U=dU+0( l); dU= x*dU /dx+ y*dU /dy+ z*dU /dz: тогдаU= x*dU /dx+ y*dU /dy+ z*dU /dz +0( l);(1)

Если последнее равенство разделиться на l, и перейти к пределу при l 0, то(2)

Левая часть равна (2) представляют собой величину (3) которую называется производной

Заметим так же, что в правой части x/ l=cos ; y/ l=cos ; z/ l=cos ; направляющие косинусы заданного направления.

И тогда равенство (2) можно записывать в виде:

U/ l= cos * U/ x+cos * U/ y +cos * U/ z(4)

Формула 4 является формулой для вычисления произведения скалярного поля по направлению.

Определение. Введем вектор с координатами: U/ x; U/ y;U/ z и назовем его градиент U ( U/ x; U/ y;U/ z)=gradU -(5) градиент скалярного поля U.

Вместо обозначения градиента часто используется символ вектора Гамильтона, который называется набла и подразумевает надпись =i / x+j / y+k / z(6)

Наблу следует понимать как обозначение определения операции, которую следует произвести над тем или иным объектом. Для скалярного поля U, U примет вид.

U=i U/ x+j U/ y+k U/ z=gradU(7)

Из функции (7) следует, что градиент и - обозначение одного и того же выражения. Учитывая, формулу (7), можно записать формулу(4) в виде скалярного произведения

векторов

U/ l=L* U=L*gradU где L=(cos , cos , cos ), U=( U/ x; U/ y;U/ z).

Произвольная по направления - это скалярное произведение 2-х векторов, которое так же можно записать через проекции

Если мы это сделаем то: – проекция градиента на направление.

Из последнее функции следует, что производная по направлению L достигает наибольше значение при cos =1, когда =0

Рассмотрим геометрический смысл вектора gradU.

Для этого произведение поверхность уровня функции U (x,y,z)=С и отметим на этой поверхности точку М.

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания поля. Определение. Градиент U – это вектор, направленный по нормали поверхности уровня в

сторону возрастания поля, прием длина вектора равна производной поля по направлению этой нормали.

Для плоского поля запишем формулу по аналогии. U/ l= cos * U/ x+cos * U/ y. =90cos = cos(90- )=sin ; U/ l= cos * U/ x+ sin * U/

i U/ x+j U/ y =gradU

Отметим некоторые свойства градиента:

1.Grad(U+V)= gradU+ gradV

2.gradC=0

3.grad(U+C)= gradU

4.grad(C*U)= C*gradU

5.grad(U*V)= V*gradU+ U*gradV

6.grad(U/V)=(V*gradU+ U*gradV)/V2

7.grad(Un)=n* Un-1 gradU

8.gradF(U)= F’(U)gradU