Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 48.элементарные функции по формуле Макларена

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
88.86 Кб
Скачать

Рассмотрим представление элементарных функций по формуле Тейлора. (Маклорена)

1)у=ех

Разложим ее относительно точки х0=0

f(x)=f(0)+(f’(0)/1!)x+(f’’(0)/2!)x2+…(f(n)(0)/n!)xn+Rn(x) y’= ех

y’= y’’= y’’’=… y(n)= ех

y0=y’(0)= y’’(0)= y’’’(0)=… y(n)(0)= 1

ех=1+x/1!+ x2/2!+ x3/3!+…+ xn/n!+ Rn(x)(1)-формула разложения показательной функции

Согласно функции Лагранжа остаток Rn(x)

IRn(х)I (IeIxII*x(n+1))/(n=1)! (14) оценивается погрешность разложения ( 13) Вычислим «е» с помощью функции 13. Е=2.7

е=1+1+1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ 1/5!+…=2.5+1/3!+ 1/4!+ 1/5!+…

Возьмем n=8 тогда оценка R8 1/9! 10-5 0,00001

Обычно мы в своих расчетах ограничиваемся точностью 0.01 Таким образом, чем больше мы берем слагаемых, тем выше погрешность вычисления.

Разложение покажет, функции можно использовать для любого показателя. Аналогичным образом разложение по формуле Тейлора тригометрических функции.

2)sinx=x-x3/3!+x5/5!-…=(-1)n*x(2n+1)/ (2n+1)!+ Rn(x)= (-1)k*x2k+1/2k+1!+ Rn(x)

3)sinx=x-x2/2!+x4/4!-…=(-1)n*x(2n)/ (2n)!+ Rn(x)= (-1)k*x2k/2k!+ Rn(x)

эти ряды справедливы на всей числовой прямой.

4)Ln(1+n)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)(n-1)xn/n+Rn(x)= (-1)(k-1)xk/K+ Rn(x)

5)Бином ньютона

(1+л) =1+( /1!)х+( ( +1)/2!)х2+…+( ( +1)…( -n+1)/n!)хn+ Rn(x)